Geometría parcial

Una estructura de incidencia consiste en un conjunto de puntos , un conjunto de líneas y una relación de incidencia, o conjunto de indicadores ; se dice que un punto es incidente con una línea si . Es una geometría parcial (finita ) si hay números enteros tales que: ${\displaystyle C=(P,L,I)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle I\subseteq P\times L}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle (p,l)\in I}$ ${\displaystyle s,t,\alpha \geq 1}$

• Para cualquier par de puntos distintos y ⁠ ⁠ , hay como máximo una línea incidente con ambos. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$
• Cada línea incide con puntos. ${\displaystyle s+1}$
• Cada punto incide con líneas. ${\displaystyle t+1}$
• Si un punto y una recta no son incidentes, existen exactamente pares ⁠ ⁠ , tales que es incidente con y es incidente con ⁠ ⁠ . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (q,m)\in I}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle l}$

Una geometría parcial con estos parámetros se denota por ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha )}$ .

Propiedades

• El número de puntos viene dado por y el número de líneas por ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$ ${\displaystyle {\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$
• El gráfico de puntos (también conocido como gráfico de colinealidad ) de un es un gráfico fuertemente regular : ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha )}$ ${\displaystyle \mathrm {srg} {\Big (}(s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha }},s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+1){\Big )}}$
• Las geometrías parciales son estructuras dualizables: el dual de a es simplemente a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha )}$ ${\displaystyle \mathrm {pg} (t,s,\alpha )}$

Casos especiales

• Los cuadrángulos generalizados son exactamente aquellas geometrías parciales con ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha =1}$
• Los sistemas Steiner son precisamente aquellas geometrías parciales con ⁠ ⁠ . ${\displaystyle S(2,s+1,ts+1)}$ ${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha =s+1}$

Generalizaciones

Un espacio lineal parcial de orden se denomina geometría semiparcial si existen números enteros tales que: ${\displaystyle S=(P,L,I)}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1,\mu }$

• Si un punto y una línea no son incidentes, existen uno o exactamente dos pares ⁠ ⁠ , tales que es incidente con y es incidente con ⁠ ⁠ . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (q,m)\in I}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle l}$
• Cada par de puntos no colineales tiene vecinos exactamente comunes. ${\displaystyle \mu }$

Una geometría semiparcial es una geometría parcial si y sólo si ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mu =\alpha (t+1)}$ .

Se puede demostrar fácilmente que el gráfico de colinealidad de dicha geometría es fuertemente regular con parámetros ⁠ ⁠ ${\displaystyle (1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\mu )}$ .

Un buen ejemplo de tal geometría se obtiene tomando los puntos afines de y sólo aquellas líneas que intersecan el plano en el infinito en un punto de un subplano de Baer fijo; tiene parámetros ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathrm {PG} (3,q^{2})}$ ${\displaystyle (s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))}$

Véase también

• Gráfico fuertemente regular
• Arco maximo

Referencias

• Brouwer, AE; van Lint, JH (1984), "Gráficos fuertemente regulares y geometrías parciales", en Jackson, DM; Vanstone, SA (eds.), Enumeration and Design , Toronto: Academic Press, págs. 85-122
• Bose, RC (1963), "Gráficos fuertemente regulares, geometrías parciales y diseños parcialmente balanceados" (PDF) , Pacific J. Math. , 13 : 389–419, doi : 10.2140/pjm.1963.13.389
• De Clerck, F.; Van Maldeghem, H. (1995), "Algunas clases de geometrías de rango 2", Manual de geometría de incidencia , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs.
• Thas, JA (2007), "Geometrías parciales", en Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (eds.), Manual de diseños combinatorios (2.ª ed.), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, págs. 557–561, ISBN 1-58488-506-8
• Debroey, I.; Thas, JA (1978), "Sobre geometrías semiparciales", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 25 : 242–250, doi : 10.1016/0097-3165(78)90016-x