Un arco máximo en un plano proyectivo finito es el arco más grande posible ( k , d ) en ese plano proyectivo. Si el plano proyectivo finito tiene orden q (hay q +1 puntos en cualquier línea), entonces para un arco máximo, k , el número de puntos del arco, es el máximo posible (= qd + d - q ) con la propiedad de que no hay d +1 puntos del arco en la misma línea.
Definición
Sea un plano proyectivo finito de orden q (no necesariamente desarguesiano ). Los arcos máximos de grado d ( 2 ≤ d ≤ q - 1) son ( k , d )- arcos en , donde k es máximo respecto del parámetro d , es decir, k = qd + d - q .
De manera equivalente, se pueden definir arcos máximos de grado d en como conjuntos no vacíos de puntos K tales que cada línea interseca el conjunto en 0 o en d puntos.
Algunos autores permiten que el grado de un arco máximo sea 1, q o incluso q + 1. [1] Sea K un arco ( k , d )-máximo en un plano proyectivo de orden q , si
- d = 1, K es un punto del plano,
- d = q , K es el complemento de una línea (un plano afín de orden q ), y
- d = q + 1, K es todo el plano proyectivo.
Todos estos casos se consideran ejemplos triviales de arcos maximalistas, que existen en cualquier tipo de plano proyectivo para cualquier valor de q . Cuando 2 ≤ d ≤ q - 1, el arco maximalista se denomina no trivial y la definición dada anteriormente y las propiedades enumeradas a continuación se refieren a arcos maximalistas no triviales.
Propiedades
- El número de líneas que pasan por un punto fijo p , que no está en un arco máximo K , y que intersecan a K en d puntos, es igual a . Por lo tanto, d divide a q .
- En el caso especial de d = 2, los arcos máximos se conocen como hiperóvalos y sólo pueden existir si q es par.
- Un arco K que tiene un punto menos que un arco máximo siempre se puede extender de forma única a un arco máximo añadiendo a K el punto en el que se encuentran todas las líneas que cortan a K en d - 1 puntos. [2]
- En PG(2, q ) con q impar, no existen arcos máximos no triviales. [3]
- En PG(2,2 h ), existen arcos máximos para cada grado 2 t , 1 ≤ t ≤ h . [4]
Geometrías parciales
Se pueden construir geometrías parciales , derivadas de arcos máximos: [5]
- Sea K un arco máximo de grado d . Considérese la estructura de incidencia , donde P contiene todos los puntos del plano proyectivo que no están en K , B contiene todas las líneas del plano proyectivo que intersecan a K en d puntos y la incidencia I es la inclusión natural. Esta es una geometría parcial: .
- Consideremos el espacio y sea K un arco máximo de grado en un subespacio bidimensional . Consideremos una estructura de incidencia donde P contiene todos los puntos que no están en , B contiene todas las líneas que no están en y que se intersecan en un punto en K , e I es nuevamente la inclusión natural. es nuevamente una geometría parcial : .
Notas
- ^ Hirschfeld 1979, págs. 325
- ^ Hirschfeld 1979, pág. 328
- ^ Bola, Blokhuis y Mazzocca 1997
- ^ Denniston 1969
- ^ Thas 1974
Referencias
- Bola, S.; Blokhuis, A.; Mazzocca, F. (1997), "Los arcos máximos en planos desarguesianos de orden impar no existen", Combinatorica , 17 : 31–41, doi :10.1007/bf01196129, MR 1466573, Zbl 0880.51003
- Denniston, RHF (abril de 1969), "Algunos arcos maximales en planos proyectivos finitos", Journal of Combinatorial Theory , 6 (3): 317–319, doi : 10.1016/s0021-9800(69)80095-5 , MR 0239991, Zbl 0167.49106
- Hirschfeld, JWP (1979), Geometrías proyectivas sobre campos finitos , Nueva York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853526-3
- Mathon, Rudolf (2002), "Nuevos arcos maximales en planos desarguesianos", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 97 (2): 353–368, doi : 10.1006/jcta.2001.3218 , MR 1883870, Zbl 1010.51009
- Thas, JA (1974), "Construcción de arcos máximos y geometrías parciales", Geometriae Dedicata , 3 : 61–64, doi :10.1007/bf00181361, MR 0349437, Zbl 0285.50018
