Progresión geométrica

Secuencia matemática de números.

Diagrama que ilustra tres secuencias geométricas básicas del patrón 1 ( r ^{n −1} ) hasta 6 iteraciones de profundidad. El primer bloque es un bloque unitario y la línea discontinua representa la suma infinita de la secuencia, un número al que siempre se acercará pero nunca tocará: 2, 3/2 y 4/3 respectivamente.

Una progresión geométrica , también conocida como secuencia geométrica , es una secuencia matemática de números distintos de cero donde cada término después del primero se encuentra multiplicando el anterior por un número fijo distinto de cero llamado razón común . Por ejemplo, la secuencia 2, 6, 18, 54, ... es una progresión geométrica con razón común 3. De manera similar, 10, 5, 2,5, 1,25, ... es una secuencia geométrica con razón común 1/2.

Ejemplos de una secuencia geométrica son las potencias r ^k de un número fijo distinto de cero r , como 2 k y 3 ^k . La forma general de una secuencia geométrica es

${\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }$

donde r ≠ 0 es la razón común y a ≠ 0 es un factor de escala , igual al valor inicial de la secuencia. La suma de los términos de una progresión geométrica se llama serie geométrica .

Propiedades elementales

El n -ésimo término de una secuencia geométrica con valor inicial a = a ₁ y razón común r está dado por

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1},}$

y en general

${\displaystyle a_{n}=a_{m}\,r^{n-m}.}$

Tal secuencia geométrica también sigue la relación recursiva

${\displaystyle a_{n}=r\,a_{n-1}}$para cada número entero ${\displaystyle n\geq 2.}$

Generalmente, para comprobar si una secuencia dada es geométrica, simplemente se comprueba si las entradas sucesivas de la secuencia tienen todas la misma proporción.

La proporción común de una secuencia geométrica puede ser negativa, lo que da como resultado una secuencia alterna, con números que alternan entre positivos y negativos. Por ejemplo

1, −3, 9, −27, 81, −243, ...

es una secuencia geométrica con razón común −3.

El comportamiento de una secuencia geométrica depende del valor de la razón común. Si la razón común es:

• positivo, todos los términos tendrán el mismo signo que el término inicial.
• negativo, los términos alternarán entre positivo y negativo.
• mayor que 1, habrá un crecimiento exponencial hacia el infinito positivo o negativo (dependiendo del signo del término inicial).
• 1, la progresión es una secuencia constante .
• entre −1 y 1 pero no cero, habrá una caída exponencial hacia cero (→ 0).
• −1, el valor absoluto de cada término de la secuencia es constante y los términos alternan en signo.
• menor que −1, para los valores absolutos hay un crecimiento exponencial hacia el infinito (sin signo) , debido a la alternancia de signos.

Las secuencias geométricas (con una proporción común distinta de −1, 1 o 0) muestran un crecimiento exponencial o una disminución exponencial, a diferencia del crecimiento (o disminución) lineal de una progresión aritmética como 4, 15, 26, 37, 48,… (con diferencia común 11). Este resultado fue tomado por TR Malthus como fundamento matemático de su Principio de Población . Tenga en cuenta que los dos tipos de progresión están relacionados: exponenciar cada término de una progresión aritmética produce una progresión geométrica, mientras que tomar el logaritmo de cada término en una progresión geométrica con una razón común positiva produce una progresión aritmética.

Un resultado interesante de la definición de la progresión geométrica es que tres términos consecutivos a , byc satisfarán la siguiente ecuación:

${\displaystyle b^{2}=ac}$

donde b se considera la media geométrica entre a y c .

Series geométricas

Prueba sin palabras de la fórmula para la suma de una serie geométrica – si | r | < 1 y n → ∞, el término r ⁿ desaparece, dejando S _∞ =a/1- r

La serie geométrica 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 +... se muestra como áreas de cuadrados morados. Cada uno de los cuadrados morados tiene 1/4 del área del siguiente cuadrado más grande (1/2× 1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, etc.). La suma de las áreas de los cuadrados morados es un tercio del área del cuadrado grande.

Otra serie geométrica (coeficiente a = 4/9 y razón común r = 1/9) se muestra como áreas de cuadrados morados. El área violeta total es S = a / (1 - r ) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2, lo cual se puede confirmar observando que el cuadrado unitario se divide en un infinito número de áreas en forma de L, cada una con cuatro cuadrados morados y cuatro cuadrados amarillos, que es la mitad de color morado.

En matemáticas , una serie geométrica es la suma de un número infinito de términos que tienen una relación constante entre términos sucesivos. Por ejemplo, la serie

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

es geométrico, porque cada término sucesivo se puede obtener multiplicando el término anterior por . En general, una serie geométrica se escribe como , donde es el coeficiente de cada término y es la razón común entre términos adyacentes. La serie geométrica tuvo un papel importante en el desarrollo temprano del cálculo , se utiliza en todas las matemáticas y puede servir como introducción a herramientas matemáticas de uso frecuente como la serie de Taylor , la serie de Fourier y la matriz exponencial . ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$

El nombre serie geométrica indica que cada término es la media geométrica de sus dos términos vecinos, de manera similar a como el nombre serie aritmética indica que cada término es la media aritmética de sus dos términos vecinos.

Producto

El producto de una progresión geométrica es el producto de todos los términos. Se puede calcular rápidamente tomando la media geométrica del primer y último término individual de la progresión y elevando esa media a la potencia dada por el número de términos. (Esto es muy similar a la fórmula para la suma de términos de una secuencia aritmética : tome la media aritmética del primer y último término individual y multiplíquela por el número de términos).

Como la media geométrica de dos números es igual a la raíz cuadrada de su producto, el producto de una progresión geométrica es:

${\displaystyle \prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}}$.

(Un aspecto interesante de esta fórmula es que, aunque implica tomar la raíz cuadrada de una potencia potencialmente impar de un r potencialmente negativo , no puede producir un resultado complejo si ni a ni r tienen una parte imaginaria. Es posible , si r es negativo y n es impar, se tomará la raíz cuadrada de un resultado intermedio negativo, lo que provocará que el resultado intermedio posterior sea un número imaginario. Sin embargo, un intermedio imaginario formado de esa manera poco después se elevará al número. potencia de , que debe ser un número par porque n por sí solo era impar, por lo tanto, el resultado final del cálculo puede ser un número impar, pero nunca podría ser imaginario). ${\displaystyle \textstyle n+1}$

Prueba

Sea P el producto. Por definición, se calcula multiplicando explícitamente cada término individual. Escrito en su totalidad,

${\displaystyle P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}$.

Realizando las multiplicaciones y reuniendo términos semejantes,

${\displaystyle P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}}$.

El exponente de r es la suma de una secuencia aritmética. Sustituyendo la fórmula para ese cálculo,

${\displaystyle P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}$,

lo que permite simplificar la expresión a

${\displaystyle P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}}$.

Reescribiendo un como , ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {a^{2}}}}$

${\displaystyle P=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}}$,

lo que concluye la prueba.

Historia

Una tablilla de arcilla del Período Dinástico Temprano en Mesopotamia (c. 2900 – c. 2350 a. C.), identificada como MS 3047, contiene una progresión geométrica con base 3 y multiplicador 1/2. Se ha sugerido que es sumerio , de la ciudad de Shuruppak . Es el único registro conocido de una progresión geométrica anterior a la época de las antiguas matemáticas babilónicas , que comenzaron en el año 2000 a.C. ^[1]

Los libros VIII y IX de los Elementos de Euclides analizan las progresiones geométricas (como las potencias de dos , consulte el artículo para más detalles) y dan varias de sus propiedades. ^[2]

Ver también

• Progresión aritmética  – Secuencia de números
• Secuencia aritmético-geométrica  : secuencia matemática que satisface un patrón específico
• Ecuación en diferencias lineales
• Función exponencial  : función matemática, denotada por exp(x) o e^x
• Progresión armónica  : progresión formada tomando los recíprocos de una progresión aritmética.
• Serie armónica  : suma divergente de todas las fracciones unitarias positivas
• Serie infinita  – Suma infinita
• Número preferido  : pautas estándar para elegir las dimensiones exactas del producto dentro de un conjunto determinado de restricciones.
• Thomas Robert Malthus  – economista político británico (1766-1834)
• Distribución geométrica  – Distribución de probabilidad

Referencias

1. Friberg, Jöran (2007). "MS 3047: un antiguo texto de tabla metromatemática sumeria". En Friberg, Jöran (ed.). Una notable colección de textos matemáticos babilónicos . Fuentes y Estudios en Historia de las Matemáticas y las Ciencias Físicas. Nueva York: Springer. págs. 150-153. doi :10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7. SEÑOR  2333050.
2. Brezo, Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides (2ª ed. [facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover.

• Hall y Knight, Álgebra superior , pág. 39, ISBN 81-8116-000-2 

enlaces externos

• "Progresión geométrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Derivación de fórmulas para la suma de progresión geométrica finita e infinita en Mathalino.com
• Calculadora de progresión geométrica Archivado el 27 de diciembre de 2008 en la Wayback Machine.
• Buena prueba de una suma de progresión geométrica en sputsoft.com
• Weisstein, Eric W. "Serie geométrica". MundoMatemático .