Una progresión geométrica , también conocida como secuencia geométrica , es una secuencia matemática de números distintos de cero donde cada término después del primero se encuentra multiplicando el anterior por un número fijo distinto de cero llamado razón común . Por ejemplo, la secuencia 2, 6, 18, 54, ... es una progresión geométrica con razón común 3. De manera similar, 10, 5, 2,5, 1,25, ... es una secuencia geométrica con razón común 1/2.
Ejemplos de una secuencia geométrica son las potencias r k de un número fijo distinto de cero r , como 2 k y 3 k . La forma general de una secuencia geométrica es
donde r ≠ 0 es la razón común y a ≠ 0 es un factor de escala , igual al valor inicial de la secuencia. La suma de los términos de una progresión geométrica se llama serie geométrica .
El n -ésimo término de una secuencia geométrica con valor inicial a = a 1 y razón común r está dado por
y en general
Tal secuencia geométrica también sigue la relación recursiva
Generalmente, para comprobar si una secuencia dada es geométrica, simplemente se comprueba si las entradas sucesivas de la secuencia tienen todas la misma proporción.
La proporción común de una secuencia geométrica puede ser negativa, lo que da como resultado una secuencia alterna, con números que alternan entre positivos y negativos. Por ejemplo
es una secuencia geométrica con razón común −3.
El comportamiento de una secuencia geométrica depende del valor de la razón común. Si la razón común es:
Las secuencias geométricas (con una proporción común distinta de −1, 1 o 0) muestran un crecimiento exponencial o una disminución exponencial, a diferencia del crecimiento (o disminución) lineal de una progresión aritmética como 4, 15, 26, 37, 48,… (con diferencia común 11). Este resultado fue tomado por TR Malthus como fundamento matemático de su Principio de Población . Tenga en cuenta que los dos tipos de progresión están relacionados: exponenciar cada término de una progresión aritmética produce una progresión geométrica, mientras que tomar el logaritmo de cada término en una progresión geométrica con una razón común positiva produce una progresión aritmética.
Un resultado interesante de la definición de la progresión geométrica es que tres términos consecutivos a , b y c satisfarán la siguiente ecuación:
donde b se considera la media geométrica entre a y c .
En matemáticas , una serie geométrica es la suma de un número infinito de términos que tienen una relación constante entre términos sucesivos. Por ejemplo, la serie
es geométrico, porque cada término sucesivo se puede obtener multiplicando el término anterior por . En general, una serie geométrica se escribe como , donde es el coeficiente de cada término y es la razón común entre términos adyacentes. La serie geométrica tuvo un papel importante en el desarrollo temprano del cálculo , se utiliza en todas las matemáticas y puede servir como introducción a herramientas matemáticas de uso frecuente como la serie de Taylor , la serie de Fourier y la matriz exponencial .
El nombre serie geométrica indica que cada término es la media geométrica de sus dos términos vecinos, de manera similar a cómo el nombre serie aritmética indica que cada término es la media aritmética de sus dos términos vecinos.El producto de una progresión geométrica es el producto de todos los términos. Se puede calcular rápidamente tomando la media geométrica del primer y último término individual de la progresión y elevando esa media a la potencia dada por el número de términos. (Esto es muy similar a la fórmula para la suma de términos de una secuencia aritmética : tome la media aritmética del primer y último término individual y multiplíquela por el número de términos).
Como la media geométrica de dos números es igual a la raíz cuadrada de su producto, el producto de una progresión geométrica es:
(Un aspecto interesante de esta fórmula es que, aunque implica tomar la raíz cuadrada de una potencia potencialmente impar de un r potencialmente negativo , no puede producir un resultado complejo si ni a ni r tienen una parte imaginaria. Es posible , si r es negativo y n es impar, se tomará la raíz cuadrada de un resultado intermedio negativo, lo que provocará que el resultado intermedio posterior sea un número imaginario. Sin embargo, un intermedio imaginario formado de esa manera poco después se elevará al número. potencia de , que debe ser un número par porque n por sí solo era impar, por lo tanto, el resultado final del cálculo puede ser un número impar, pero nunca podría ser imaginario).
Sea P el producto. Por definición, se calcula multiplicando explícitamente cada término individual. Escrito en su totalidad,
Realizando las multiplicaciones y reuniendo términos semejantes,
El exponente de r es la suma de una secuencia aritmética. Sustituyendo la fórmula para ese cálculo,
lo que permite simplificar la expresión a
Reescribiendo un como ,
lo que concluye la prueba.
Una tablilla de arcilla del Período Dinástico Temprano en Mesopotamia (c. 2900 – c. 2350 a. C.), identificada como MS 3047, contiene una progresión geométrica con base 3 y multiplicador 1/2. Se ha sugerido que es sumerio , de la ciudad de Shuruppak . Es el único registro conocido de una progresión geométrica anterior a la época de las antiguas matemáticas babilónicas , que comenzaron en el año 2000 a.C. [1]
Los libros VIII y IX de los Elementos de Euclides analizan las progresiones geométricas (como las potencias de dos , consulte el artículo para más detalles) y dan varias de sus propiedades. [2]