stringtranslate.com

Haz de módulos

En matemáticas, un haz de O -módulos o simplemente un O -módulo sobre un espacio anillado ( X , O ) es un haz F tal que, para cualquier subconjunto abierto U de X , F ( U ) es un O ( U )-módulo y las funciones de restricción F ( U ) →  F ( V ) son compatibles con las funciones de restricción O ( U ) →  O ( V ): la restricción de fs es la restricción de f por la restricción de s para cualquier f en O ( U ) y s en F ( U ).

El caso estándar es cuando X es un esquema y O su haz de estructura. Si O es el haz constante , entonces un haz de O -módulos es lo mismo que un haz de grupos abelianos (es decir, un haz abeliano ).

Si X es el espectro primo de un anillo R , entonces cualquier módulo R define un módulo O X (llamado haz asociado ) de manera natural. De manera similar, si R es un anillo graduado y X es el Proy de R , entonces cualquier módulo graduado define un módulo O X de manera natural. Los módulos O que surgen de esta manera son ejemplos de haces cuasi-coherentes y, de hecho, en esquemas afines o proyectivos, todos los haces cuasi-coherentes se obtienen de esta manera.

Los haces de módulos sobre un espacio anillado forman una categoría abeliana . [1] Además, esta categoría tiene suficientes inyectivos , [2] y en consecuencia se puede definir y se define la cohomología de haces como el i -ésimo funtor derivado por la derecha del funtor de sección global . [3]

Ejemplos

Operaciones

Sea ( X , O ) un espacio anillado. Si F y G son O -módulos, entonces su producto tensorial, denotado por

o ,

es el módulo O que es el haz asociado al prehaz (Para ver que no se puede evitar la gavillación, calcule las secciones globales de donde O (1) es el haz tortuoso de Serre en un espacio proyectivo).

De manera similar, si F y G son O -módulos, entonces

denota el módulo O que es el haz . [4] En particular, el módulo O

se llama módulo dual de F y se denota por . Nota: para cualquier O -módulo E , F , existe un homomorfismo canónico

,

que es un isomorfismo si E es un haz localmente libre de rango finito. En particular, si L es localmente libre de rango uno (tal L se llama haz invertible o fibrado lineal ), [5] entonces esto se lee:

lo que implica que las clases de isomorfismo de haces invertibles forman un grupo. Este grupo se llama grupo de Picard de X y se identifica canónicamente con el primer grupo de cohomología (por el argumento estándar con la cohomología de Čech ).

Si E es un haz localmente libre de rango finito, entonces existe un mapa O -lineal dado por el emparejamiento ; se llama mapa de trazas de E.

Para cualquier módulo O F , el álgebra tensorial , el álgebra exterior y el álgebra simétrica de F se definen de la misma manera. Por ejemplo, la k -ésima potencia exterior

es el haz asociado al prehaz . Si F es localmente libre de rango n , entonces se denomina fibrado lineal determinante (aunque técnicamente es un haz invertible ) de F , denotado por det( F ). Existe un emparejamiento perfecto natural:

Sea f : ( X , O ) →( X ' , O ' ) un morfismo de espacios anillados. Si F es un O -módulo, entonces el haz de imágenes directas es un O ' -módulo a través de la función natural O 'f * O (dicha función natural es parte de los datos de un morfismo de espacios anillados).

Si G es un módulo O ' , entonces la imagen inversa del módulo de G es el módulo O dado como el producto tensorial de módulos:

donde es la imagen inversa del haz de G y se obtiene por adjudicación .

Existe una relación adjunta entre y : para cualquier O -módulo F y O' -módulo G ,

como grupo abeliano. También existe la fórmula de proyección : para un módulo O F y un módulo O' E localmente libre de rango finito,

Propiedades

Sea ( X , O ) un espacio anillado. Se dice que un módulo O F está generado por secciones globales si existe una sobreyección de módulos O :

Explícitamente, esto significa que hay secciones globales s i de F tales que las imágenes de s i en cada tallo F x generan F x como O x -módulo.

Un ejemplo de un haz de este tipo es el asociado en geometría algebraica a un R -módulo M , siendo R cualquier anillo conmutativo , en el espectro de un anillo Spec ( R ). Otro ejemplo: según el teorema de Cartan A , cualquier haz coherente en una variedad de Stein está abarcado por secciones globales. (cf. el teorema de Serre A más abajo.) En la teoría de esquemas , una noción relacionada es fibrado lineal amplio . (Por ejemplo, si L es un fibrado lineal amplio, alguna potencia de él es generada por secciones globales.)

Un O -módulo inyectivo es flasque (es decir, todas las funciones de restricción F ( U ) → F ( V ) son sobreyectivas). [6] Dado que un haz flasque es acíclico en la categoría de haces abelianos, esto implica que el i -ésimo funtor derivado por la derecha del funtor de sección global en la categoría de O -módulos coincide con la i -ésima cohomología del haz habitual en la categoría de haces abelianos. [7]

Gavilla asociada a un módulo

Sea un módulo sobre un anillo . Pon y escribe . Para cada par , por la propiedad universal de localización, existe una función natural

teniendo la propiedad de que . Entonces

es un funtor contravariante de la categoría cuyos objetos son los conjuntos D ( f ) y morfismos las inclusiones de conjuntos a la categoría de grupos abelianos . Se puede demostrar [8] que es de hecho un haz B (es decir, satisface el axioma de pegado) y por lo tanto define el haz en X llamado el haz asociado a M .

El ejemplo más básico es la estructura haz en X ; es decir, . Además, tiene la estructura de -módulo y por lo tanto se obtiene el funtor exacto de Mod A , la categoría de módulos sobre A a la categoría de módulos sobre . Define una equivalencia de Mod A a la categoría de haces cuasi-coherentes en X , con el inverso , el funtor de sección global . Cuando X es noetheriano , el funtor es una equivalencia de la categoría de A -módulos generados finitamente a la categoría de haces coherentes en X .

La construcción tiene las siguientes propiedades: para cualquier A -módulo M , N , y cualquier morfismo ,

Gavilla asociada a un módulo graduado

Existe un análogo graduado de la construcción y equivalencia de la sección precedente. Sea R un anillo graduado generado por elementos de grado uno como R 0 -álgebra ( R 0 significa la pieza de grado cero) y M un R -módulo graduado . Sea X el Proy de R (por lo que X es un esquema proyectivo si R es noetheriano). Entonces existe un O -módulo tal que para cualquier elemento homogéneo f de grado positivo de R , existe un isomorfismo natural

como haces de módulos en el esquema afín ; [12] de hecho, esto se define mediante pegado.

Ejemplo : Sea R (1) el módulo R graduado dado por R (1) n = R n +1 . Entonces se denomina haz tortuoso de Serre , que es el dual del fibrado lineal tautológico si R es finitamente generado en grado uno.

Si F es un O -módulo en X , entonces, escribiendo , hay un homomorfismo canónico:

lo cual es un isomorfismo si y sólo si F es cuasi-coherente.

Cálculo de la cohomología de haces

La cohomología de haces tiene fama de ser difícil de calcular. Por ello, el siguiente hecho general es fundamental para cualquier cálculo práctico:

Teorema  —  Sea X un espacio topológico, F un haz abeliano sobre él y una cubierta abierta de X tal que para cualquier i , p y 's en . Entonces para cualquier i ,

donde el lado derecho es la i -ésima cohomología de Čech .

El teorema de desaparición de Serre [13] establece que si X es una variedad proyectiva y F un haz coherente en ella, entonces, para un valor n suficientemente grande , la torsión de Serre F ( n ) se genera mediante un número finito de secciones globales. Además,

  1. Para cada i , H i ( X , F ) se genera finitamente sobre R 0 , y
  2. Existe un entero n 0 , que depende de F , tal que

[14] [15] [16]

Extensión de la gavilla

Sea ( X , O ) un espacio anillado, y sean F , H haces de O -módulos en X . Una extensión de H por F es una secuencia corta exacta de O -módulos

Al igual que con las extensiones de grupo, si fijamos F y H , entonces todas las clases de equivalencia de extensiones de H por F forman un grupo abeliano (cf. suma de Baer ), que es isomorfo al grupo Ext , donde el elemento identidad en corresponde a la extensión trivial.

En el caso donde H es O , tenemos: para cualquier i ≥ 0,

ya que ambos lados son los funtores derivados derechos del mismo funtor

Nota : Algunos autores, especialmente Hartshorne, omiten el subíndice O.

Supongamos que X es un esquema proyectivo sobre un anillo noetheriano. Sean F , G haces coherentes sobre X e i un entero. Entonces existe n 0 tal que

. [17]

Resoluciones locales gratuitas

se puede calcular fácilmente para cualquier haz coherente utilizando una resolución localmente libre: [18] dado un complejo

entonces

por eso

Ejemplos

Hipersuperficie

Consideremos una hipersuperficie lisa de grado . Luego, podemos calcular una resolución

y encuentra que

Unión de intersecciones completas suaves

Considere el esquema

donde es una intersección completa y suave y , . Tenemos un complejo

resolviendo lo cual podemos utilizar para calcular .

Véase también

Notas

  1. ^ Vakil, Matemáticas 216: Fundamentos de geometría algebraica, 2.5.
  2. ^ Hartshorne, Cap. III, Proposición 2.2.
  3. ^ Este funtor de cohomología coincide con el funtor derivado por la derecha del funtor de sección global en la categoría de haces abelianos; cf. Hartshorne, Cap. III, Proposición 2.6.
  4. ^ Hay un homomorfismo canónico:
    lo cual es un isomorfismo si F es de presentación finita (EGA, Cap. 0, 5.2.6.)
  5. ^ Para haces coherentes, tener un tensor inverso es lo mismo que estar localmente libre de rango uno; de hecho, existe el siguiente hecho: si y si F es coherente, entonces F , G están localmente libres de rango uno. (cf. EGA, Cap. 0, 5.4.3.)
  6. ^ Hartshorne, Cap. III, Lema 2.4.
  7. ^ ver también: https://math.stackexchange.com/q/447234
  8. ^ Hartshorne, Cap. II, Proposición 5.1.
  9. ^ EGA I, Cap. I, Proposición 1.3.6.
  10. ^ ab EGA I, cap. I, Corolario 1.3.12.
  11. ^ EGA I, cap. Yo, Corolario 1.3.9.
  12. ^ Hartshorne, Cap. II, Proposición 5.11.
  13. ^ "Sección 30.2 (01X8): Cohomología de haces cuasi-coherentes de Čech: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 7 de diciembre de 2023 .
  14. ^ Costa, Miró-Roig & Pons-Llopis 2021, Teorema 1.3.1
  15. ^ "Enlaces con la cohomología de haces". Cohomología local . 2012. págs. 438–479. doi :10.1017/CBO9781139044059.023. ISBN . 9780521513630.
  16. ^ Serre 1955, §.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.
  17. ^ Hartshorne, Cap. III, Proposición 6.9.
  18. ^ Hartshorne, Robin. Geometría algebraica . págs. 233–235.

Referencias