Lema fundamental de la teoría de tamices

En teoría de números , el lema fundamental de la teoría de tamices es cualquiera de los diversos resultados que sistematizan el proceso de aplicación de métodos de tamices a problemas particulares. Halberstam y Richert ^{[1] : 92–93} escriben:

Una característica curiosa de la literatura sobre tamices es que, si bien se utiliza con frecuencia el método de Brun, sólo hay unos pocos intentos de formular un teorema general de Brun (como el Teorema 2.1); como resultado, hay sorprendentemente muchos artículos que repiten con considerable detalle los pasos del argumento de Brun.

Diamond y Halberstam ^{[2] : 42} atribuyen la terminología Lema Fundamental a Jonas Kubilius .

Notación común

Utilizamos estas notaciones:

• ${\displaystyle A}$es un conjunto de números enteros positivos, y es su subconjunto de números enteros divisible por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{d}}$ ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle w(d)}$y son funciones de y de que estiman el número de elementos de que son divisibles por , según la fórmula ${\displaystyle R_{d}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}X+R_{d}.}$

Por lo tanto, representa una densidad aproximada de miembros divisible por , y representa un término de error o resto. ${\displaystyle w(d)/d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R_{d}}$

• ${\displaystyle P}$es un conjunto de números primos, y es el producto de esos primos ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle \leq z}$
• ${\displaystyle S(A,P,z)}$es el número de elementos de no divisible por ningún primo en que es ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \leq z}$
• ${\displaystyle \kappa }$es una constante, llamada densidad de tamizado, ^{[3] : 28} que aparece en los supuestos siguientes. Es un promedio ponderado del número de clases de residuos tamizados por cada primo.

Lema fundamental del tamiz combinatorio

Esta formulación es de Tenenbaum. ^{[4] : 60} Otras formulaciones están en Halberstam & Richert , ^{[1] : 82} en Greaves, ^{[3] : 92} y en Friedlander & Iwaniec . ^{[5] : 732–733} Hacemos las suposiciones:

• ${\displaystyle w(d)}$es una función multiplicativa .
• La densidad de cribado satisface, para algún número constante y real y con : ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle 2\leq \eta \leq \xi }$

${\displaystyle \prod _{\eta \leq p\leq \xi }\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)^{-1}<\left({\frac {\ln \xi }{\ln \eta }}\right)^{\kappa }\left(1+{\frac {C}{\ln \eta }}\right).}$

Hay un parámetro que está a nuestra disposición. Tenemos uniformemente en , , , y que ${\displaystyle u\geq 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle S(a,P,z)=X\prod _{p\leq z,p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(u^{-u/2})\}+O\left(\sum _{d\leq z^{u},d|P(z)}|R_{d}|\right).}$

En las aplicaciones, elegimos el término de error óptimo. En el tamiz, esto está relacionado con el número de niveles del principio de inclusión-exclusión . ${\displaystyle u}$

Lema fundamental del tamiz de Selberg

Esta formulación es de Halberstam & Richert . ^{[1] : 208–209} Otra formulación está en Diamond & Halberstam . ^{[2] : 29}

Partimos de las siguientes suposiciones:

• ${\displaystyle w(d)}$es una función multiplicativa .
• La densidad de cribado satisface, para algún número constante y real y con : ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle 2\leq \eta \leq \xi }$

${\displaystyle \qquad \sum _{\eta \leq p\leq \xi }{\frac {w(p)\ln p}{p}}<\kappa \ln {\frac {\xi }{\eta }}+C.}$

• ${\displaystyle {\frac {w(p)}{p}}<1-c}$para algunos pequeños fijos y todo . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle |R(d)|\leq w(d)}$para todos los cuadrados libres cuyos factores primos estén en . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P}$

El lema fundamental tiene casi la misma forma que para la criba combinatoria. Escribe . La conclusión es: ${\displaystyle u=\ln {X}/\ln {z}}$

${\displaystyle S(a,P,z)=X\prod _{p\leq z,\ p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(e^{-u/2})\}.}$

Tenga en cuenta que ya no es un parámetro independiente a nuestra disposición, sino que está controlado por la elección de . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle z}$

Obsérvese que el término de error aquí es más débil que para el lema fundamental de la criba combinatoria. Halberstam y Richert señalan: ^{[1] : 221} "Por lo tanto, no es cierto decir, como se ha afirmado de vez en cuando en la literatura, que la criba de Selberg es siempre mejor que la de Brun".

Notas

1. Halberstam, Heini ; Richert, Hans-Egon (1974). Métodos de tamizado . Monografías de la London Mathematical Society. Vol. 4. Londres: Academic Press. ISBN 0-12-318250-6.Sr. 0424730  .
2. Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini (2008). Un método de tamiz de dimensiones superiores: con procedimientos para calcular funciones de tamiz . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 177. Con William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89487-6.
3. Greaves, George (2001). Tamices en la teoría de números . Berlín: Springer. ISBN 3-540-41647-1.
4. Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7.
5. Friedlander, Juan ; Henryk Iwaniec (1978). "Sobre el tamiz asintótico de Bombieri". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa; Clases de ciencias . 4e serie. 5 (4): 719–756 . Consultado el 14 de febrero de 2009 .