Función de Fox-Wright

Generalización de la función hipergeométrica generalizada pFq(z)

En matemáticas , la función de Fox-Wright (también conocida como función Psi de Fox-Wright , que no debe confundirse con la función Omega de Wright ) es una generalización de la función hipergeométrica generalizada _p F _q ( z ) basada en las ideas de Charles Fox  (1928) y E. Maitland Wright  (1935):

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$

Al cambiar la normalización

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}^{*}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]={\frac {\Gamma (b_{1})\cdots \Gamma (b_{q})}{\Gamma (a_{1})\cdots \Gamma (a_{p})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}}$$

se convierte en _p F _q ( z ) para A _{1... p} = B _{1... q} = 1.

La función Fox-Wright es un caso especial de la función H de Fox (Srivastava y Manocha 1984, pág. 50):

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=H_{p,q+1}^{1,p}\left[-z\left|{\begin{matrix}(1-a_{1},A_{1})&(1-a_{2},A_{2})&\ldots &(1-a_{p},A_{p})\\(0,1)&(1-b_{1},B_{1})&(1-b_{2},B_{2})&\ldots &(1-b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right].}$$

Un caso especial de la función Fox-Wright aparece como parte de la constante normalizadora de la distribución seminormal modificada ^[1] con la función de densidad de probabilidad activada se da como , donde denota la función Psi de Fox-Wright . ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

Función de Wright

La función completa se denomina a menudo función de Wright . ^[2] Es el caso especial de la función Fox-Wright. Su representación en serie es ${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$ ${\displaystyle {}_{0}\Psi _{1}\left[\ldots \right]}$

$${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.}$$

Esta función se utiliza ampliamente en el cálculo fraccionario y en la distribución de recuento estable . Recuerde que . Por lo tanto, un valor distinto de cero con cero es la extensión no trivial más simple de la función exponencial en dicho contexto. ${\displaystyle \lim \limits _{\lambda \to 0}W_{\lambda ,\mu }(z)=e^{z}/\Gamma (\mu )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Se enunciaron tres propiedades en el Teorema 1 de Wright (1933) ^[3] y 18.1(30–32) de Erdelyi, Proyecto Bateman, Vol 3 (1955) ^[4] (p. 212)

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda zW_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(a)\\[6pt]{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&(b)\\[6pt]\lambda z{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(c)\end{aligned}}}$$

La ecuación (a) es una fórmula de recurrencia. (b) y (c) proporcionan dos caminos para reducir una derivada. Y (c) puede derivarse de (a) y (b).

Un caso especial de (c) es . Reemplazando por , tenemos ${\displaystyle \lambda =-c\alpha ,\mu =0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -x^{\alpha }}$

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x{d \over dx}W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })&=&-{\frac {1}{c}}\left[W_{-c\alpha ,-1}(-x^{\alpha })+W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })\right]\end{array}}}$$

Un caso especial de (a) es . Reemplazando por , tenemos ${\displaystyle \lambda =-\alpha ,\mu =1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -z}$ $${\displaystyle \alpha zW_{-\alpha ,1-\alpha }(-z)=W_{-\alpha ,0}(-z)}$$

En la literatura se utilizaron ampliamente dos notaciones, y : ${\displaystyle M_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle F_{\alpha }(z)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,1-\alpha }(-z),\\[1ex]\implies F_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,0}(-z)=\alpha zM_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

Función M-Wright

${\displaystyle M_{\alpha }(z)}$se conoce como la función M-Wright, que entra como una densidad de probabilidad en una clase relevante de procesos estocásticos autosimilares, generalmente denominados procesos de difusión fraccional en el tiempo.

Sus propiedades fueron estudiadas en Mainardi et al (2010). ^[5] A través de la distribución de conteo estable , se conecta al índice de estabilidad de Lévy . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (0<\alpha \leq 1)}$

Su expansión asintótica de para es donde ${\displaystyle M_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ $${\displaystyle M_{\alpha }\left({\frac {r}{\alpha }}\right)=A(\alpha )\,r^{(\alpha -1/2)/(1-\alpha )}\,e^{-B(\alpha )\,r^{1/(1-\alpha )}},\,\,r\rightarrow \infty ,}$$ ${\displaystyle A(\alpha )={\frac {1}{\sqrt {2\pi (1-\alpha )}}},}$ ${\displaystyle B(\alpha )={\frac {1-\alpha }{\alpha }}.}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Función Prabhakar
• Función hipergeométrica
• Función hipergeométrica generalizada
• La distribución seminormal modificada ^[1] con la función de densidad de probabilidad activada se da como , donde denota la función Psi de Fox–Wright . ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

Referencias

1. Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 de junio de 2021). "La distribución seminormal modificada: propiedades y un esquema de muestreo eficiente". Comunicaciones en estadística: teoría y métodos . 52 (5): 1591–1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.
2. Weisstein, Eric W. "Función Wright". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 3 de diciembre de 2022 .
3. Wright, E. (1933). "Sobre los coeficientes de series de potencias con singularidades exponenciales". Journal of the London Mathematical Society . Segunda serie: 71–79. doi :10.1112/JLMS/S1-8.1.71. S2CID  122652898.
4. Erdelyi, A (1955). El Proyecto Bateman, Volumen 3. Instituto Tecnológico de California.
5. Mainardi, Francisco; Mura, Antonio; Pagnini, Gianni (17 de abril de 2010). "La función M-Wright en procesos de difusión fraccional de tiempo: una encuesta tutorial" . arXiv : 1004.2950 .

• Fox, C. (1928). "La expansión asintótica de funciones integrales definidas por series hipergeométricas generalizadas". Proc. London Math. Soc . 27 (1): 389–400. doi :10.1112/plms/s2-27.1.389.
• Wright, EM (1935). "La expansión asintótica de la función hipergeométrica generalizada". J. London Math. Soc . 10 (4): 286–293. doi :10.1112/jlms/s1-10.40.286.
• Wright, EM (1940). "La expansión asintótica de la función hipergeométrica generalizada". Proc. London Math. Soc . 46 (2): 389–408. doi :10.1112/plms/s2-46.1.389.
• Wright, EM (1952). "Fe de erratas de "La expansión asintótica de la función hipergeométrica generalizada"". J. London Math. Soc . 27 : 254. doi : 10.1112/plms/s2-54.3.254-s .
• Srivastava, HM; Manocha, HL (1984). Un tratado sobre funciones generadoras . E. Horwood. ISBN 0-470-20010-3.
• Miller, AR; Moskowitz, IS (1995). "Reducción de una clase de funciones Psi de Fox–Wright para ciertos parámetros racionales". Matemáticas informáticas. Applic . 30 (11): 73–82. doi : 10.1016/0898-1221(95)00165-u .
• Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 de junio de 2021). «La distribución seminormal modificada: propiedades y un esquema de muestreo eficiente». Communications in Statistics – Theory and Methods . 52 (5): 1591–1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.

Enlaces externos

• hipergeoma en GitLab