Distribución seminormal modificada

Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución seminormal modificada (MHN) ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]} es una familia de tres parámetros de distribuciones de probabilidad continuas apoyadas en la parte positiva de la línea real. Puede verse como una generalización de múltiples familias, incluidas la distribución seminormal , la distribución normal truncada , la distribución gamma y la raíz cuadrada de la distribución gamma, todas las cuales son casos especiales de la distribución MHN. Por lo tanto, es un modelo de probabilidad flexible para analizar datos positivos de valor real. El nombre de la distribución está motivado por las similitudes de su función de densidad con la de la distribución seminormal.

Además de usarse como modelo de probabilidad, la distribución MHN también aparece en procedimientos bayesianos basados ​​en Monte Carlo de cadena de Markov (MCMC) , incluido el modelado bayesiano de datos direccionales, ^[4] la regresión binaria bayesiana y el modelado gráfico bayesiano .

En el análisis bayesiano, las nuevas distribuciones suelen aparecer como una distribución posterior condicional ; el uso de muchas de estas distribuciones de probabilidad es demasiado contextual y puede que no tengan importancia en una perspectiva más amplia. Además, muchas de estas distribuciones carecen de una representación manejable de sus aspectos distributivos, como la forma funcional conocida de la constante normalizadora. Sin embargo, la distribución MHN se da en diversas áreas de investigación, lo que indica su relevancia para el modelado estadístico bayesiano contemporáneo y el cálculo asociado. ^{[ aclaración necesaria ]}

Los momentos (incluida la varianza y la asimetría ) de la distribución MHN se pueden representar mediante las funciones Psi de Fox–Wright . Existe una relación recursiva entre los tres momentos consecutivos de la distribución; esto es útil para desarrollar una aproximación eficiente para la media de la distribución, así como para construir una estimación basada en momentos de sus parámetros.

Definiciones

La función de densidad de probabilidad de la distribución seminormal modificada es donde denota la función Psi de Fox–Wright . ^{[9] [10] [11]} La conexión entre la constante de normalización de la distribución y la función de Fox–Wright se proporciona en Sun, Kong, Pal. ^[1] $${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\alpha /2}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}{\text{ for }}x>0}$$ ${\displaystyle \Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)={}_{1}\Psi _{1}\left[{\begin{matrix}({\frac {\alpha }{2}},{\frac {1}{2}})\\(1,0)\end{matrix}};{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right]}$

La función de distribución acumulativa (CDF) es donde denota la función gamma incompleta inferior . $${\displaystyle F_{_{\text{MHN}}}(x\mid \alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {2\beta ^{\alpha /2}}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{2i!}}\beta ^{-(\alpha +i)/2}\gamma \left({\frac {\alpha +i}{2}},\beta x^{2}\right){\text{ for }}x\geq 0,}$$ ${\displaystyle \gamma (s,y)=\int _{0}^{y}t^{s-1}e^{-t}\,dt}$

Propiedades

La distribución seminormal modificada es una familia exponencial de distribuciones y, por lo tanto, hereda las propiedades de las familias exponenciales.

Momentos

Sea . Elija un valor real tal que . Entonces el momento th es Además, La varianza de la distribución es La función generadora de momentos de la distribución MHN se da como ${\displaystyle X\sim {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha +k>0}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle E(X^{k})={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +k}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta ^{k/2}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}.}$$ $${\displaystyle E(X^{k+2})={\frac {\alpha +k}{2\beta }}E(X^{k})+{\frac {\gamma }{2\beta }}E(X^{k+1}).}$$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\alpha }{2\beta }}+E(X)\left({\frac {\gamma }{2\beta }}-E(X)\right).}$ $${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma +t}{\sqrt {\beta }}}\right)}{\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}.}$$

Caracterización modal

Considere con , , y . ${\displaystyle {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$

• Si , entonces la función de densidad de probabilidad de la distribución es log-cóncava. ${\displaystyle \alpha \geq 1}$
• Si , entonces el modo de la distribución se ubica en ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}$
• Si y , entonces la densidad tiene un máximo local en y un mínimo local en ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle 1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}\leq \alpha <1}$ ${\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}}$ ${\displaystyle {\frac {\gamma -{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}$
• La función de densidad disminuye gradualmente y el modo de la distribución no existe, si o . ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}}$ ${\displaystyle \gamma <0,\alpha \leq 1}$

Propiedades adicionales que involucran moda y valores esperados

Sea para , , y , y sea la moda de la distribución denotada por ${\displaystyle X\sim {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} {}}$ ${\displaystyle X_{\text{mode}}={\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}$

Si , entonces para todos los . A medida que se hace más grande, la diferencia entre los límites superior e inferior se acerca a cero. Por lo tanto, esto también proporciona una aproximación de alta precisión de cuando es grande. ${\displaystyle \alpha >1}$ $${\displaystyle X_{\text{mode}}\leq E(X)\leq {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }}}$$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle E(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Por otra parte, si y , entonces Para todos , , y , . Además, la condición es una condición suficiente para su validez. El hecho de que implica que la distribución está sesgada positivamente. ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \alpha \geq 4}$ $${\displaystyle \log(X_{\text{mode}})\leq E(\log(X))\leq \log \left({\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }}\right).}$$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\text{Var}}(X)\leq {\frac {1}{2\beta }}}$ ${\displaystyle \alpha \geq 4}$ ${\displaystyle X_{\text{mode}}\leq E(X)}$

Representación de mezclas

Sea . Si , entonces existe una variable aleatoria tal que y . Por el contrario, si entonces existe una variable aleatoria tal que y , donde denota la distribución gaussiana inversa generalizada . ${\displaystyle X\sim \operatorname {MHN} (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\mid X\sim \operatorname {Poisson} (\gamma X)}$ ${\displaystyle X^{2}\mid V\sim \operatorname {Gamma} \left({\frac {\alpha +V}{2}},\beta \right)}$ ${\displaystyle \gamma <0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\mid X\sim {\text{GIG}}\left({\frac {1}{2}},1,\gamma ^{2}X^{2}\right)}$ ${\displaystyle X^{2}\mid U\sim {\text{Gamma}}\left({\frac {\alpha }{2}},\left(\beta +{\frac {\gamma ^{2}}{U}}\right)\right)}$ ${\displaystyle {\text{GIG}}}$

Referencias

1. Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 de junio de 2021). "La distribución modificada-semi-normal: propiedades y un esquema de muestreo eficiente". Comunicaciones en Estadística - Teoría y Métodos . 52 (5): 1591–1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.
2. Trangucci, Rob; Chen, Yang; Zelner, Jon (18 de agosto de 2022). "Modelado de diferencias raciales/étnicas en la incidencia de COVID-19 con covariables sujetas a valores faltantes no aleatorios". arXiv : 2206.08161 .PPR533225.
3. Wang, Hai-Bin; Wang, Jian (23 de agosto de 2022). "Un muestreador exacto para una red elástica completamente bayesiana". Estadística computacional . doi :10.1007/s00180-022-01275-8. ISSN  1613-9658.
4. Pal, Subhadip; Gaskins, Jeremy (2 de noviembre de 2022). "Aumento de datos Pólya-Gamma modificados para el análisis bayesiano de datos direccionales". Revista de computación estadística y simulación . 92 (16): 3430–3451. doi :10.1080/00949655.2022.2067853. ISSN  0094-9655. S2CID  249022546.
5. Trangucci, Robert Neale (2023). Expansión del modelo bayesiano para el sesgo de selección en epidemiología (tesis). doi :10.7302/8573. hdl :2027.42/178116.
6. Haoran, Xu; Ziyi, Wang (18 de mayo de 2023). "Evaluación de condición y diagnóstico de fallas de transformadores de potencia basados ​​en GAN-CNN". Revista de electrotecnología, ingeniería eléctrica y gestión . 6 (3): 8–16. doi : 10.23977/jeeem.2023.060302 . S2CID  259048682.
7. Gao, Fengxin; Wang, Hai-Bin (17 de agosto de 2022). "Generación de variables aleatorias modificadas-semirnormales mediante un método de rechazo de densidad transformada relajada". www.researchsquare.com . doi :10.21203/rs.3.rs-1948653/v1.
8. Копаниця, Юрій (5 de octubre de 2021). "ПОВІТРЯНИЙ СТОВП НАПІРНОГО ГІДРОЦИКЛОНУ ІЗ ПНЕВМАТИЧНИМ РЕГУЛЯТО РОМ". Проблеми водопостачання, водовідведення та гідравліки (en ucraniano) (36): 4–10. doi : 10.32347/2524-0021.2021.36.4-10 . ISSN  2524-0021. S2CID  242771336.
9. Wright, E. Maitland (1935). "La expansión asintótica de la función hipergeométrica generalizada". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . s1-10 (4): 286–293. doi :10.1112/jlms/s1-10.40.286. ISSN  1469-7750.
10. Fox, C. (1928). "La expansión asintótica de funciones hipergeométricas generalizadas". Actas de la London Mathematical Society . s2-27 (1): 389–400. doi :10.1112/plms/s2-27.1.389. ISSN  1460-244X.
11. Mehrez, Khaled; Sitnik, Sergei M. (1 de noviembre de 2019). "Desigualdades funcionales para las funciones de Fox-Wright". The Ramanujan Journal . 50 (2): 263–287. arXiv : 1708.06611 . doi :10.1007/s11139-018-0071-2. ISSN  1572-9303. S2CID  119716471.