función q-gamma

Función en la teoría q-analógica

En la teoría q-analógica , la función -gamma , o función gamma básica , es una generalización de la función gamma ordinaria estrechamente relacionada con la función gamma doble . Fue introducida por Jackson (1905). Está dada por cuando , y si . Aquí está el símbolo q-Pochhammer infinito . La función -gamma satisface la ecuación funcional Además, la función -gamma satisface el q-análogo del teorema de Bohr-Mollerup , que fue encontrado por Richard Askey (Askey (1978)). Para números enteros no negativos n , donde es la función q-factorial . Por lo tanto, la función -gamma puede considerarse como una extensión de la función q-factorial a los números reales. ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \Gamma _{q}(x)=(1-q)^{1-x}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}}=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$$ ${\displaystyle |q|<1}$ $${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(q^{-1};q^{-1})_{\infty }}{(q^{-x};q^{-1})_{\infty }}}(q-1)^{1-x}q^{\binom {x}{2}}}$$ ${\displaystyle |q|>1}$ ${\displaystyle (\cdot ;\cdot )_{\infty }}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)={\frac {1-q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$$ ${\displaystyle q}$
$${\displaystyle \Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!}$$ ${\displaystyle [\cdot ]_{q}}$ ${\displaystyle q}$

La relación con la función gamma ordinaria se hace explícita en el límite . Hay una prueba sencilla de este límite realizada por Gosper. Véase el apéndice de ( Andrews  (1986)). $${\displaystyle \lim _{q\to 1\pm }\Gamma _{q}(x)=\Gamma (x).}$$

Propiedades de transformación

La función -gamma satisface el análogo q de la fórmula de multiplicación de Gauss (Gasper y Rahman (2004)): ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \Gamma _{q}(nx)\Gamma _{r}(1/n)\Gamma _{r}(2/n)\cdots \Gamma _{r}((n-1)/n)=\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}\right)^{nx-1}\Gamma _{r}(x)\Gamma _{r}(x+1/n)\cdots \Gamma _{r}(x+(n-1)/n),\ r=q^{n}.}$$

Representación integral

La función -gamma tiene la siguiente representación integral ( Ismail  (1981)): ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma _{q}(z)}}={\frac {\sin(\pi z)}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-z}\mathrm {d} t}{(-t(1-q);q)_{\infty }}}.}$$

Fórmula Stirling

Moak obtuvo el siguiente análogo q de la fórmula de Stirling (ver Moak (1984)): donde , denota la función escalonada de Heaviside , representa el número de Bernoulli , es el dilogaritmo y es un polinomio de grado que satisface $${\displaystyle \log \Gamma _{q}(x)\sim (x-1/2)\log[x]_{q}+{\frac {\mathrm {Li} _{2}(1-q^{x})}{\log q}}+C_{\hat {q}}+{\frac {1}{2}}H(q-1)\log q+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left({\frac {\log {\hat {q}}}{{\hat {q}}^{x}-1}}\right)^{2k-1}{\hat {q}}^{x}p_{2k-3}({\hat {q}}^{x}),\ x\to \infty ,}$$ $${\displaystyle {\hat {q}}=\left\{{\begin{aligned}q\quad \mathrm {if} \ &0<q\leq 1\\1/q\quad \mathrm {if} \ &q\geq 1\end{aligned}}\right\},}$$ $${\displaystyle C_{q}={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {q-1}{\log q}}\right)-{\frac {1}{24}}\log q+\log \sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(r^{m(6m+1)}-r^{(3m+1)(2m+1)}\right),}$$ ${\displaystyle r=\exp(4\pi ^{2}/\log q)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(z)}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle p_{k}(z)=z(1-z)p'_{k-1}(z)+(kz+1)p_{k-1}(z),p_{0}=p_{-1}=1,k=1,2,\cdots .}$$

Fórmulas de tipo Raabe

Gracias a I. Mező, el análogo q de la fórmula de Raabe existe, al menos si utilizamos la función q-gamma cuando . Con esta restricción, El Bachraoui consideró el caso y demostró que ${\displaystyle |q|>1}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log {\sqrt {\frac {q-1}{\sqrt[{6}]{q}}}}+\log(q^{-1};q^{-1})_{\infty }\quad (q>1).}$$ ${\displaystyle 0<q<1}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {1}{2}}\log(1-q)-{\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log(q;q)_{\infty }\quad (0<q<1).}$$

Valores especiales

Se conocen los siguientes valores especiales. ^[1] Estos son los análogos de la fórmula clásica . $${\displaystyle \Gamma _{e^{-\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /16}{\sqrt {e^{\pi }-1}}{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{15/16}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}$$ $${\displaystyle \Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /8}{\sqrt {e^{2\pi }-1}}}{2^{9/8}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}$$ $${\displaystyle \Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /4}{\sqrt {e^{4\pi }-1}}}{2^{7/4}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}$$ $${\displaystyle \Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /2}{\sqrt {e^{8\pi }-1}}}{2^{9/4}\pi ^{3/4}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right).}$$ ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$

Además, son válidos los siguientes análogos de la identidad familiar : ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt {2}}\pi }$ $${\displaystyle \Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /16}\left(e^{2\pi }-1\right){\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{33/16}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},}$$ $${\displaystyle \Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /8}\left(e^{4\pi }-1\right)}{2^{23/8}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},}$$ $${\displaystyle \Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /4}\left(e^{8\pi }-1\right)}{16\pi ^{3/2}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}.}$$

Versión Matrix

Sea una matriz cuadrada compleja y una matriz definida positiva . Entonces, una función matricial q-gamma se puede definir mediante la integral q: ^[2] donde es la función q-exponencial . ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \Gamma _{q}(A):=\int _{0}^{\frac {1}{1-q}}t^{A-I}E_{q}(-qt)\mathrm {d} _{q}t}$$ ${\displaystyle E_{q}}$

Otras funciones q-gamma

Para otras funciones q-gamma, véase Yamasaki 2006. ^[3]

Cálculo numérico

Gabutti y Allasia propusieron un algoritmo iterativo para calcular la función q-gamma. ^[4]

Lectura adicional

• Zhang, Ruiming (2007), "Sobre la asintótica de las funciones q -gamma", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 339 (2): 1313–1321, arXiv : 0705.2802 , Bibcode :2008JMAA..339.1313Z, doi :10.1016/j.jmaa.2007.08.006, S2CID  115163047
• Zhang, Ruiming (2010), "Sobre la asintótica de Γ _q (z) cuando q se acerca a 1", arXiv : 1011.0720 [math.CA]
• Ismail, Mourad EH; Muldoon, Martin E. (1994), "Inequalities and monotonicity properties for gamma and q -gamma functions", en Zahar, RVM (ed.), Approximation and computation a festschrift in honor of Walter Gautschi: Proceedings of the Purdue conference, December 2-5, 1993 , vol. 119, Boston: Birkhäuser Verlag, pp. 309–323, arXiv : 1301.1749 , doi :10.1007/978-1-4684-7415-2_19, ISBN 978-1-4684-7415-2, Número de identificación del sujeto  118563435

Referencias

1. Mező, István (2011), "Varios valores especiales de las funciones theta de Jacobi", arXiv : 1106.1042 [math.NT]
2. Salem, Ahmed (junio de 2012). "Sobre funciones matriciales q -gamma y q -beta". Álgebra lineal y multilineal . 60 (6): 683–696. doi :10.1080/03081087.2011.627562. S2CID  123011613.
3. Yamasaki, Yoshinori (diciembre de 2006). "Sobre los análogos q de las funciones zeta múltiples de Barnes". Tokyo Journal of Mathematics . 29 (2): 413–427. arXiv : math/0412067 . doi :10.3836/tjm/1170348176. MR  2284981. S2CID  14082358. Zbl  1192.11060.
4. Gabutti, Bruno; Allasia, Giampietro (17 de septiembre de 2008). "Evaluación de la función q-gamma y análogos q mediante algoritmos iterativos". Algoritmos numéricos . 49 (1–4): 159–168. Bibcode :2008NuAlg..49..159G. doi :10.1007/s11075-008-9196-5. S2CID  6314057.

• Jackson, FH (1905), "La función gamma básica y las funciones elípticas", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico , 76 (508), The Royal Society: 127–144, Bibcode :1905RSPSA..76..127J, doi : 10.1098/rspa.1905.0011 , ISSN  0950-1207, JSTOR  92601
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Series hipergeométricas básicas , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 96 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, Sr.  2128719
• Ismail, Mourad (1981), "Las funciones y polinomios básicos de Bessel", Revista SIAM sobre análisis matemático , 12 (3): 454–468, doi :10.1137/0512038
• Moak, Daniel S. (1984), "El análogo Q de la fórmula de Stirling", Rocky Mountain J. Math. , 14 (2): 403–414, doi : 10.1216/RMJ-1984-14-2-403
• Mező, István (2012), "Una fórmula q-Raabe y una integral de la cuarta función theta de Jacobi", Journal of Number Theory , 133 (2): 692–704, doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 , hdl : 2437/166217
• El Bachraoui, Mohamed (2017), "Pruebas breves para la fórmula q-Raabe e integrales para funciones theta de Jacobi", Journal of Number Theory , 173 (2): 614–620, doi : 10.1016/j.jnt.2016.09.028
• Askey, Richard (1978), "Las funciones q-gamma y q-beta"., Applicable Analysis , 8 (2): 125–141, doi :10.1080/00036817808839221
• Andrews, George E. (1986), Serie q: su desarrollo y aplicación en análisis, teoría de números, combinatoria, física y álgebra computacional. , Serie de conferencias regionales en matemáticas, vol. 66, American Mathematical Society