Función de tamaño

Descripciones de formas en un sentido geométrico/topológico.

Las funciones de tamaño son descriptores de forma, en un sentido geométrico/topológico. Son funciones desde el semiplano hasta los números naturales, contando determinadas componentes conexas de un espacio topológico . Se utilizan en reconocimiento de patrones y topología . ${\displaystyle x<y}$

Definicion formal

En teoría del tamaño , la función de tamaño asociada al par de tamaños se define de la siguiente manera. Para cada , es igual al número de componentes conectados del conjunto que contienen al menos un punto en el que la función de medición (una función continua desde un espacio topológico hasta ^{[1] [2]} ) toma un valor menor o igual a . ^[3] El concepto de función de tamaño puede extenderse fácilmente al caso de una función de medición , donde está dotada del orden parcial habitual. ^[4] Se puede encontrar un estudio sobre las funciones de tamaño (y la teoría del tamaño ) en ^[5] ${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}:\Delta ^{+}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x<y\}\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (M,\varphi :M\to \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Delta ^{+}}$ ${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)}$ ${\displaystyle \{p\in M:\varphi (p)\leq y\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Un ejemplo de función de tamaño. (A) Un par de tallas , donde es la curva azul y es la función de altura. (B) El conjunto está representado en verde. (C) El conjunto de puntos en los que la función de medición toma un valor menor o igual a , es decir , se representa en rojo. (D) Dos componentes conectados del conjunto contienen al menos un punto en , es decir, al menos un punto donde la función de medición toma un valor menor o igual a . (E) El valor de la función de tamaño en el punto es igual a . ${\displaystyle (M,\varphi :M\to \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{p\in M:\varphi (p)\leq b\}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{p\in M:\varphi (p)\leq a\}}$ ${\displaystyle \{p\in M:\varphi (p)\leq b\}}$ ${\displaystyle \{p\in M:\varphi (p)\leq a\}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle 2}$

Historia y aplicaciones

Las funciones de tamaño se introdujeron en ^[6] para el caso particular de igual al espacio topológico de todos los caminos cerrados por partes en una variedad cerrada incrustada en un espacio euclidiano. Aquí la topología es inducida por la norma, mientras que la función de medición toma cada camino en su longitud. En ^[7] se considera el caso de igual al espacio topológico de todas las tuplas ordenadas de puntos en una subvariedad de un espacio euclidiano. Aquí la topología es inducida por la métrica . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \gamma \in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d((P_{1},\ldots ,P_{k}),(Q_{1}\ldots ,Q_{k}))=\max _{1\leq i\leq k}\|P_{i}-Q_{i}\|}$

^{En [2]} se realizó una extensión del concepto de función de tamaño a la topología algebraica , donde se introdujo el concepto de grupo de homotopía de tamaño . Aquí se permiten funciones de medición que toman valores . En . se introdujo una extensión de la teoría de la homología (el functor de tamaño ). ^[8] Los conceptos de grupo de homotopía de tamaño y functor de tamaño están estrictamente relacionados con el concepto de grupo de homología persistente ^[9] estudiado en homología persistente . Vale la pena señalar que la función de tamaño es el rango del -ésimo grupo de homología persistente, mientras que la relación entre el grupo de homología persistente y el grupo de homotopía de tamaño es análoga a la que existe entre los grupos de homología y los grupos de homotopía . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle 0}$

Las funciones de tamaño se introdujeron inicialmente como una herramienta matemática para la comparación de formas en visión por computadora y reconocimiento de patrones , y constituyeron la semilla de la teoría del tamaño . ^{[3] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17]} El punto principal es que las funciones de tamaño son invariantes para cada transformación preservando la función de medición . Por lo tanto, se pueden adaptar a muchas aplicaciones diferentes, simplemente cambiando la función de medición para obtener la invariancia deseada. Además, las funciones de tamaño muestran propiedades de resistencia relativa al ruido, dependiendo de que distribuyen la información por todo el semiplano . ${\displaystyle \Delta ^{+}}$

Propiedades principales

Supongamos que es un espacio de Hausdorff compacto y conectado localmente . Se mantienen las siguientes afirmaciones: ${\displaystyle M}$

• Cada función de tamaño es una función no decreciente en la variable y una función no creciente en la variable . ${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• cada función de tamaño es localmente constante por la derecha en ambas variables. ${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)}$
• para cada , es finito. ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)}$
• para todos y cada uno , . ${\displaystyle x<\min \varphi }$ ${\displaystyle y>x}$ ${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)=0}$
• para todos y cada , es igual al número de componentes conectados de en los cuales el valor mínimo de es menor o igual a . ${\displaystyle y\geq \max \varphi }$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

Si también asumimos que es una variedad cerrada suave y que es una función, se cumple la siguiente propiedad útil: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C^{1}}$

• Para que sea un punto de discontinuidad, es necesario que uno o ambos sean valores críticos para . ^[18] ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \varphi }$

Existe un fuerte vínculo entre el concepto de función de tamaño y el concepto de pseudodistancia natural entre los pares de tamaños . ^{[1] [19]} ${\displaystyle d((M,\varphi ),(N,\psi ))}$ ${\displaystyle (M,\varphi ),\ (N,\psi )}$

• si entonces . ${\displaystyle \ell _{(N,\psi )}({\bar {x}},{\bar {y}})>\ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x}},{\tilde {y}})}$ ${\displaystyle d((M,\varphi ),(N,\psi ))\geq \min\{{\tilde {x}}-{\bar {x}},{\bar {y}}-{\tilde {y}}\}}$

El resultado anterior proporciona una manera fácil de obtener límites inferiores para la pseudodistancia natural y es una de las principales motivaciones para introducir el concepto de función de tamaño.

Representación por series formales

^{En [1] [20]} se proporcionó una representación algebraica de funciones de tamaño en términos de conjuntos de puntos y líneas en el plano real con multiplicidades, es decir, como series formales particulares . ^[21] Los puntos (llamados puntos de esquina ) y las líneas (llamadas líneas de esquina ) de tales series formales codifican la información sobre las discontinuidades de las funciones de tamaño correspondientes, mientras que sus multiplicidades contienen la información sobre los valores tomados por la función de tamaño.

Formalmente:

• Los puntos de esquina se definen como aquellos puntos , con , tales que el número ${\displaystyle p=(x,y)}$ ${\displaystyle x<y}$

${\displaystyle \mu (p){\stackrel {\rm {def}}{=}}\min _{\alpha >0,\beta >0}\ell _{({M},\varphi )}(x+\alpha ,y-\beta )-\ell _{({M},\varphi )}(x+\alpha ,y+\beta )-\ell _{({M},\varphi )}(x-\alpha ,y-\beta )+\ell _{({M},\varphi )}(x-\alpha ,y+\beta )}$

es positivo. Se dice que el número es la multiplicidad de . ${\displaystyle \mu (p)}$ ${\displaystyle p}$

• líneas de esquina y se definen como aquellas líneas tales que ${\displaystyle r:x=k}$

${\displaystyle \mu (r){\stackrel {\rm {def}}{=}}\min _{\alpha >0,k+\alpha <y}\ell _{({M},\varphi )}(k+\alpha ,y)-\ell _{({M},\varphi )}(k-\alpha ,y)>0.}$

El número es triste por ser la multiplicidad de . ${\displaystyle \mu (r)}$ ${\displaystyle r}$

• Teorema de representación : para cada uno , se cumple ${\displaystyle {\bar {x}}<{\bar {y}}}$

${\displaystyle \ell _{({M},\varphi )}({\bar {x}},{\bar {y}})=\sum _{p=(x,y) \atop x\leq {\bar {x}},y>{\bar {y}}}\mu {\big (}p{\big )}+\sum _{r:x=k \atop k\leq {\bar {x}}}\mu {\big (}r{\big )}}$.

Esta representación contiene la misma cantidad de información sobre la forma en estudio que la función de tamaño original, pero es mucho más concisa.

Este enfoque algebraico de las funciones de tamaño conduce a la definición de nuevas medidas de similitud entre formas, al traducir el problema de comparar funciones de tamaño en el problema de comparar series formales. La más estudiada entre estas métricas entre funciones de tamaño es la distancia de coincidencia . ^[3]

Referencias

1. Patrizio Frosini y Claudia Landi, La teoría del tamaño como herramienta topológica para la visión por computadora , reconocimiento de patrones y análisis de imágenes, 9 (4): 596–603, 1999.
2. Patrizio Frosini y Michele Mulazzani, Grupos de homotopía de tamaño para el cálculo de distancias de tamaño natural , Boletín de la Sociedad Matemática Belga , 6:455–464 1999.
3. Michele d'Amico, Patrizio Frosini y Claudia Landi, Uso de la distancia coincidente en la teoría del tamaño: una encuesta , Revista internacional de tecnología y sistemas de imágenes, 16 (5): 154–161, 2006.
4. Silvia Biasotti, Andrea Cerri, Patrizio Frosini, Claudia Landi, Funciones de tamaño multidimensionales para comparación de formas , Journal of Mathematical Imaging and Vision 32:161–179, 2008.
5. Silvia Biasotti, Leila De Floriani , Bianca Falcidieno , Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Claudia Landi, Laura Papaleo, Michela Spagnuolo, Descripción de formas mediante propiedades geométrico-topológicas de funciones reales ACM Computing Surveys, vol. 40 (2008), n. 4, 12:1–12:87.
6. Patrizio Frosini, Una distancia para clases de similitud de subvariedades de un espacio euclidiano , Boletín de la Sociedad Matemática Australiana, 42(3):407–416, 1990.
7. Patrizio Frosini, Medición de formas mediante funciones de tamaño , Proc. SPIE, Robots inteligentes y visión por computadora X: algoritmos y técnicas, Boston, MA, 1607:122–133, 1991.
8. Francesca Cagliari, Massimo Ferri y Paola Pozzi, Funciones de tamaño desde un punto de vista categórico , Acta Applicandae Mathematicae, 67(3):225–235, 2001.
9. Herbert Edelsbrunner, David Letscher y Afra Zomorodian, Persistencia y simplificación topológica , geometría discreta y computacional , 28(4):511–533, 2002.
10. Claudio Uras y Alessandro Verri, Describir y reconocer la forma a través de funciones de tamaño Informe técnico ICSI TR-92-057, Berkeley, 1992.
11. Alessandro Verri, Claudio Uras, Patrizio Frosini y Massimo Ferri, Sobre el uso de funciones de tamaño para el análisis de formas , Biological Cybernetics, 70:99–107, 1993.
12. Patrizio Frosini y Claudia Landi, Funciones de tamaño y transformaciones morfológicas , Acta Applicandae Mathematicae, 49(1):85–104, 1997.
13. Alessandro Verri y Claudio Uras, Enfoque métrico-topológico para la representación y el reconocimiento de formas , Image Vision Comput., 14:189–207, 1996.
14. Alessandro Verri y Claudio Uras, Computación de funciones de tamaño a partir de mapas de bordes , Internat. J. Computación. Visión, 23(2):169–183, 1997.
15. Françoise Dibos, Patrizio Frosini y Denis Pasquignon, El uso de funciones de tamaño para comparar formas mediante invariantes diferenciales , Journal of Mathematical Imaging and Vision, 21(2):107–118, 2004.
16. Andrea Cerri, Massimo Ferri, Daniela Giorgi, Recuperación de imágenes de marcas mediante funciones de tamaño Graphical Models 68:451–471, 2006.
17. Silvia Biasotti, Daniela Giorgi, Michela Spagnuolo, Bianca Falcidieno , Funciones de tamaño para comparar modelos 3D Reconocimiento de patrones 41:2855–2873, 2008.
18. Patrizio Frosini, Conexiones entre funciones de tamaño y puntos críticos , Métodos matemáticos en las ciencias aplicadas, 19:555–569, 1996.
19. Pietro Donatini y Patrizio Frosini, Límites inferiores para pseudodistancias naturales mediante funciones de tamaño , Archives of Inequalities and Applications, 2(1):1–12, 2004.
20. Claudia Landi y Patrizio Frosini, Nuevas pseudodistancias para el espacio funcional de tamaño , Proc. SPIE vol. 3168, págs. 52–60, Vision Geometry VI, Robert A. Melter, Angela Y. Wu , Longin J. Latecki (eds.), 1997.
21. Patrizio Frosini y Claudia Landi, Funciones de tamaño y series formales , Appl. Ing. Álgebra. Com. Computadora, 12:327–349, 2001.

Ver también

• Teoría del tamaño
• Pseudodistancia natural
• Funtor de tamaño
• Grupo de homotopía de tamaño
• Par de tallas
• Distancia coincidente
• Análisis de datos topológicos.