Funtor de tamaño

Dado un par de tamaños donde es una variedad de dimensión y es una función continua real arbitraria definida en él, el functor de tamaño -ésimo , ^[1] con , denotado por , es el funtor en , donde es la categoría de números reales ordenados, y es la categoría de grupos abelianos , definida de la siguiente manera. Para , establecer , igual a la inclusión de en e igual al morfismo en de a , ${\displaystyle (M,f)\ }$ ${\displaystyle M\ }$ ${\displaystyle n\ }$ ${\displaystyle f\ }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=0,\ldots ,n\ }$ ${\displaystyle F_{i}\ }$ ${\displaystyle Fun(\mathrm {Rord} ,\mathrm {Ab} )\ }$ ${\displaystyle \mathrm {Rord} \ }$ ${\displaystyle \mathrm {Ab} \ }$ ${\displaystyle x\leq y\ }$ ${\displaystyle M_{x}=\{p\in M:f(p)\leq x\}\ }$ ${\displaystyle M_{y}=\{p\in M:f(p)\leq y\}\ }$ ${\displaystyle j_{xy}\ }$ ${\displaystyle M_{x}\ }$ ${\displaystyle M_{y}\ }$ ${\displaystyle k_{xy}\ }$ ${\displaystyle \mathrm {Rord} \ }$ ${\displaystyle x\ }$ ${\displaystyle y\ }$

• para cada , ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle F_{i}(x)=H_{i}(M_{x});\ }$
• ${\displaystyle F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}).\ }$

En otras palabras, el funtor de tamaño estudia el proceso de nacimiento y muerte de clases de homología a medida que cambia el conjunto de niveles inferiores. Cuando es suave y compacto y es una función Morse , el funtor puede describirse mediante árboles orientados, llamados árboles. ${\displaystyle M\ }$ ${\displaystyle f\ }$ ${\displaystyle F_{0}\ }$ ${\displaystyle H_{0}\ }$

El concepto de functor de tamaño se introdujo como una extensión de la teoría de la homología y la teoría de categorías de la idea de función de tamaño . La principal motivación para introducir el funtor de tamaño se originó por la observación de que la función de tamaño puede verse como el rango de la imagen de . ${\displaystyle \ell _{(M,f)}(x,y)\ }$ ${\displaystyle H_{0}(j_{xy}):H_{0}(M_{x})\rightarrow H_{0}(M_{y})}$

El concepto de functor de tamaño está estrictamente relacionado con el concepto de grupo de homología persistente , ^[2] estudiado en homología persistente . Vale la pena señalar que el -ésimo grupo de homología persistente coincide con la imagen del homomorfismo . ${\displaystyle i\ }$ ${\displaystyle F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})}$

Ver también

• Teoría del tamaño
• Función de tamaño
• Grupo de homotopía de tamaño
• Par de tallas

Referencias

1. Cagliari, Francesca; Ferri, Massimo; Pozzi, Paola (2001). "El tamaño funciona desde un punto de vista categórico". Acta Applicandae Mathematicae . 67 (3): 225–235. doi : 10.1023/A:1011923819754 .
2. Edelsbrunner, Herbert ; Letscher, David; Zomorodiano, Afra (2002). "Persistencia y simplificación topológica". Geometría discreta y computacional . 28 (4): 511–533. doi : 10.1007/s00454-002-2885-2 .