Función de onda de Laughlin

En física de la materia condensada , la función de onda de Laughlin ^{[1] [2]} es un ansatz , propuesto por Robert Laughlin para el estado fundamental de un gas de electrones bidimensional colocado en un campo magnético de fondo uniforme en presencia de un fondo de gelatina uniforme cuando el factor de llenado del nivel de Landau más bajo es donde es un entero positivo impar. Fue construido para explicar la observación del efecto Hall cuántico fraccionario (FQHE), y predijo la existencia de estados adicionales, así como excitaciones de cuasipartículas con carga eléctrica fraccionaria , ambos observados experimentalmente más tarde. Laughlin recibió un tercio del Premio Nobel de Física en 1998 por este descubrimiento. ${\displaystyle \nu =1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nu =1/3}$ ${\displaystyle \nu =1/n}$ ${\displaystyle e/n}$

Contexto y expresión analítica

Si ignoramos la repulsión de Coulomb mutua y de Jellium entre los electrones como una aproximación de orden cero, tenemos un nivel de Landau más bajo (LLL) infinitamente degenerado y con un factor de llenado de 1/ n , esperaríamos que todos los electrones se encontraran en el LLL. Activando las interacciones, podemos hacer la aproximación de que todos los electrones se encuentran en el LLL. Si es la función de onda de partícula única del estado LLL con los momentos angulares orbitales más bajos , entonces el ansatz de Laughlin para la función de onda de múltiples partículas es ${\displaystyle \psi _{0}}$

${\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N}\mid n,N\rangle =\psi _{n,N}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})=D\left[\prod _{N\geqslant i>j\geqslant 1}\left(z_{i}-z_{j}\right)^{n}\right]\prod _{k=1}^{N}\exp \left(-\mid z_{k}\mid ^{2}\right)}$

donde la posición se denota por

${\displaystyle z={1 \over 2{\mathit {l}}_{B}}\left(x+iy\right)}$

en ( unidades gaussianas )

${\displaystyle {\mathit {l}}_{B}={\sqrt {\hbar c \over eB}}}$

y y son coordenadas en el plano x–y. Aquí está la constante de Planck reducida , es la carga del electrón , es el número total de partículas y es el campo magnético , que es perpendicular al plano xy. Los subíndices en z identifican la partícula. Para que la función de onda describa fermiones , n debe ser un entero impar. Esto obliga a que la función de onda sea antisimétrica bajo intercambio de partículas. El momento angular para este estado es . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\hbar }$

Estado fundamental verdadero en FQHE enno= 1/3

Considere lo anterior: la resultante es una función de onda de prueba; no es exacta, pero cualitativamente reproduce muchas características de la solución exacta y cuantitativamente tiene superposiciones muy altas con el estado fundamental exacto para sistemas pequeños. Suponiendo la repulsión de Coulomb entre dos electrones cualesquiera, ese estado fundamental se puede determinar utilizando la diagonalización exacta ^[3] y se ha calculado que las superposiciones son cercanas a uno. Además, con la interacción de corto alcance (los pseudopotenciales de Haldane se establecen en cero), la función de onda de Laughlin se vuelve exacta, ^[4] es decir . ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \Psi _{L}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})\propto \Pi _{i<j}(z_{i}-z_{j})^{3}}$ ${\displaystyle \Psi _{ED}}$ ${\displaystyle m>3}$ ${\displaystyle \langle \Psi _{ED}|\Psi _{L}\rangle =1}$

Energía de interacción de dos partículas

Figura 1. Energía de interacción en función de y . La energía está en unidades de . Nótese que los mínimos se producen para y . En general, los mínimos se producen en . ${\displaystyle {\mathit {l}}}$ ${\displaystyle n=7}$ ${\displaystyle k_{B}r_{B}=20}$ ${\displaystyle {e^{2} \over L_{B}}}$ ${\displaystyle {\mathit {l}}=3}$ ${\displaystyle {\mathit {l}}=4}$ ${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 2}\pm {1 \over 2n}}$

La función de onda de Laughlin es la función de onda multipartícula para cuasipartículas . El valor esperado de la energía de interacción para un par de cuasipartículas es

${\displaystyle \langle V\rangle =\langle n,N\mid V\mid n,N\rangle ,\;\;\;N=2}$

donde el potencial apantallado es (ver Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales § Potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético )

${\displaystyle V\left(r_{12}\right)=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{B}}\right)}$

donde es una función hipergeométrica confluente y es una función de Bessel de primera clase. Aquí, es la distancia entre los centros de dos bucles de corriente, es la magnitud de la carga del electrón , es la versión cuántica del radio de Larmor , y es el espesor del gas de electrones en la dirección del campo magnético. Los momentos angulares de los dos bucles de corriente individuales son y donde . La longitud de apantallamiento inversa está dada por ( unidades gaussianas ) ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{0}}$ ${\displaystyle r_{12}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle r_{B}={\sqrt {2}}{\mathit {l}}_{B}}$ ${\displaystyle L_{B}}$ ${\displaystyle {\mathit {l}}\hbar }$ ${\displaystyle {\mathit {l}}^{\prime }\hbar }$ ${\displaystyle {\mathit {l}}+{\mathit {l}}^{\prime }=n}$

${\displaystyle k_{B}^{2}={4\pi e^{2} \over \hbar \omega _{c}AL_{B}}}$

donde es la frecuencia del ciclotrón , y es el área del gas de electrones en el plano xy. ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle A}$

La energía de interacción se evalúa como:

Figura 2. Energía de interacción vs. para y . La energía está en unidades de . ${\displaystyle {n}}$ ${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 2}\pm {1 \over 2n}}$ ${\displaystyle k_{B}r_{B}=0.1,1.0,10}$ ${\displaystyle {e^{2} \over L_{B}}}$

Para obtener este resultado hemos realizado el cambio de variables de integración

${\displaystyle u_{12}={z_{1}-z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

y

${\displaystyle v_{12}={z_{1}+z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

y se observó (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos )

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{2n}\;n!}\int d^{2}z_{1}\;d^{2}z_{2}\;\mid z_{1}-z_{2}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid z_{1}\mid ^{2}+\mid z_{2}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {2}}\;{k\mid z_{1}-z_{2}\mid }\right)=}$

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{n}\;n!}\int d^{2}u_{12}\;d^{2}v_{12}\;\mid u_{12}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid u_{12}\mid ^{2}+\mid v_{12}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({2}k\mid u_{12}\mid \right)=}$

${\displaystyle M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right).}$

La energía de interacción tiene mínimos para (Figura 1)

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 3},{2 \over 5},{3 \over 7},{\mbox{etc.,}}}$

y

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={2 \over 3},{3 \over 5},{4 \over 7},{\mbox{etc.}}}$

Para estos valores de la relación de momentos angulares, la energía se representa gráficamente en la Figura 2 como una función de . ${\displaystyle n}$

Referencias

1. Laughlin, RB (2 de mayo de 1983). "Efecto Hall cuántico anómalo: un fluido cuántico incompresible con excitaciones cargadas fraccionariamente". Physical Review Letters . 50 (18). American Physical Society (APS): 1395–1398. Código Bibliográfico :1983PhRvL..50.1395L. doi :10.1103/physrevlett.50.1395. ISSN  0031-9007.
2. ZF Ezewa (2008). Efectos Hall cuánticos, segunda edición . World Scientific. ISBN 978-981-270-032-2.págs. 210-213
3. Yoshioka, D. (2 de mayo de 1983). "Estado fundamental de electrones bidimensionales en campos magnéticos intensos". Physical Review Letters . 50 (18). American Physical Society (APS): 1219. doi :10.1103/physrevlett.50.1219. ISSN  0031-9007.
4. Haldane, FDM; EH Rezayi. "Estudios de tamaño finito del estado incompresible del efecto Hall fraccionariamente cuantificado y sus excitaciones". Physical Review Letters . 54 : 237. doi :10.1103/PhysRevLett.54.237.

Véase también

• Nivel Landau
• Efecto Hall cuántico fraccional
• Potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente inmersos en un campo magnético