De hecho, si ese no es el caso para empezar, se puede elegir un conjunto diferente de intervalos para los cuales se cumplan estos supuestos. Por ejemplo, la función de paso.
Se puede escribir como
Variaciones en la definición
A veces, se requiere que los intervalos estén abiertos [1] o se permita que sean singleton. [2] La condición de que el conjunto de intervalos debe ser finito a menudo se elimina, especialmente en matemáticas escolares, [3] [4] [5] aunque aún debe ser localmente finito , lo que da como resultado la definición de funciones constantes por partes.
Ejemplos
Una función constante es un ejemplo trivial de función escalonada. Entonces solo hay un intervalo,
La función de signo sgn( x ) , que es −1 para números negativos y +1 para números positivos, y es la función escalonada no constante más simple.
La función de Heaviside H ( x ) , que es 0 para números negativos y 1 para números positivos, es equivalente a la función de signo, hasta un desplazamiento y escala de rango ( ). Es el concepto matemático detrás de algunas señales de prueba , como las utilizadas para determinar la respuesta escalonada de un sistema dinámico .
La función parte entera no es una función escalonada según la definición de este artículo, ya que tiene un número infinito de intervalos. Sin embargo, algunos autores [6] también definen funciones escalonadas con un número infinito de intervalos. [6]
Propiedades
La suma y el producto de dos funciones escalonadas es nuevamente una función escalonada. El producto de una función escalonada por un número también es una función escalonada. Como tal, las funciones escalonadas forman un álgebra sobre los números reales.
Una función escalonada toma sólo un número finito de valores. Si los intervalos para en la definición anterior de la función escalonada son disjuntos y su unión es la recta real, entonces para todos
La integral de Lebesgue de una función escalonada es donde está la longitud del intervalo , y aquí se supone que todos los intervalos tienen una longitud finita. De hecho, esta igualdad (vista como una definición) puede ser el primer paso para construir la integral de Lebesgue. [7]
Una variable aleatoria discreta a veces se define como una variable aleatoria cuya función de distribución acumulativa es constante por partes. [8] En este caso, es localmente una función escalonada (globalmente, puede tener un número infinito de pasos). Sin embargo, por lo general, cualquier variable aleatoria con solo un número contable de valores posibles se denomina variable aleatoria discreta; en este caso, su función de distribución acumulativa no es necesariamente localmente una función escalonada, ya que se pueden acumular infinitos intervalos en una región finita.
^ ab Bachman, Narici, Beckenstein (5 de abril de 2002). "Ejemplo 7.2.2". Análisis de Fourier y Wavelet . Springer, Nueva York, 2000. ISBN0-387-98899-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Weir, Alan J (10 de mayo de 1973). "3". Integración y medida de Lebesgue . Prensa de la Universidad de Cambridge, 1973. ISBN0-521-09751-7.