Función de base 13 de Conway

Contraejemplo del recíproco del teorema del valor intermedio

La función de base 13 de Conway es una función creada por el matemático británico John H. Conway como contraejemplo del inverso del teorema del valor intermedio . En otras palabras, es una función que satisface una propiedad particular de valor intermedio (en cualquier intervalo , la función toma todos los valores entre y ), pero no es continua . ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$

En 2018, Aksel Bergfeldt publicó en el StackExchange de matemáticas una función mucho más simple con la propiedad de que cada conjunto abierto se mapea en la línea real completa. ^[1] Esta función tampoco es continua en ninguna parte.

Objetivo

La función base 13 de Conway fue creada como parte de una actividad de "producción": en este caso, el desafío era producir una función fácil de entender que tomara cada valor real en cada intervalo, es decir, es una función sobreyectiva en todas partes . ^[2] Por lo tanto, es discontinua en cada punto .

Bosquejo de definición

• Cada número real se puede representar en base 13 de una manera canónica única; dichas representaciones utilizan los dígitos 0 a 9 más tres símbolos adicionales, por ejemplo {A, B, C}. Por ejemplo, el número 54349589 tiene una representación en base 13 . ${\displaystyle x}$B34C128
• Si en lugar de {A, B, C} elegimos con criterio los símbolos {+, −, .}, algunos números en base 13 tendrán representaciones que se parecen a decimales bien formadas en base 10: por ejemplo, el número 54349589 tiene una representación en base 13 de −34.128. Por supuesto, la mayoría de los números no serán inteligibles de esta manera; por ejemplo, el número 3629265 tiene la representación en base 13 9+0−−7de .
• La función de base 13 de Conway toma un número real x y considera su representación de base 13 como una secuencia de símbolos {0, 1, ..., 9, +, −, .} . Si a partir de alguna posición, la representación parece un número decimal bien formado r , entonces f ( x ) = r . De lo contrario, f ( x ) = 0. (Bien formado significa que comienza con un símbolo + o −, contiene exactamente un símbolo de punto decimal y, de lo contrario, contiene solo los dígitos 0–9). Por ejemplo, si un número x tiene la representación 8++2.19+0−−7+3.141592653..., entonces f ( x ) = +3.141592653....

Definición

La función Conway de base 13 es una función definida de la siguiente manera. Escriba el valor del argumento como un tridecimal (un "decimal" en base 13 ) utilizando 13 símbolos como "dígitos": 0, 1, ..., 9, A, B, C ; no debe haber ninguna C recurrente al final. Puede haber un signo inicial y en algún lugar habrá un punto tridecimal para separar la parte entera de la parte fraccionaria; ambos deben ignorarse en la secuela. Se puede pensar que estos "dígitos" tienen los valores de 0 a 12 respectivamente; Conway originalmente usó los dígitos "+", "−" y "." en lugar de A, B, C, y subrayó todos los "dígitos" de base 13 para distinguirlos claramente de los dígitos y símbolos habituales de base 10. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$

• Si a partir de algún punto, la expansión tridecimal de es de la forma donde todos los dígitos y están en entonces en la notación base 10 habitual . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ax_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle \{0,\dots ,9\},}$ ${\displaystyle f(x)=x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots }$
• De manera similar, si la expansión tridecimal de termina con entonces ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Bx_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots ,}$ ${\displaystyle f(x)=-x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots .}$
• De lo contrario, ${\displaystyle f(x)=0.}$

Por ejemplo:

• ${\displaystyle f(\mathrm {12345A3C14.159} \dots _{13})=f(\mathrm {A3C14.159} \dots _{13})=3.14159\dots ,}$
• ${\displaystyle f(\mathrm {B1C234} _{13})=-1.234,}$
• ${\displaystyle f(\mathrm {1C234A567} _{13})=0.}$

Propiedades

• Según el teorema del valor intermedio, toda función real continua tiene la propiedad del valor intermedio: en cada intervalo ( a ,  b ), la función pasa por cada punto entre y La función de base 13 de Conway muestra que lo inverso es falso: satisface la propiedad del valor intermedio, pero no es continua. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b).}$
• De hecho, la función de base 13 de Conway satisface una propiedad de valor intermedio mucho más fuerte: en cada intervalo ( a ,  b ), la función pasa por cada número real . Como resultado, satisface una propiedad de discontinuidad mucho más fuerte: es discontinua en todas partes. ${\displaystyle f}$
• De lo anterior se desprende aún más respecto de la discontinuidad de la función: su gráfico es denso en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Para demostrar que la función base 13 de Conway satisface esta propiedad intermedia más fuerte, sea ( a ,  b ) un intervalo, sea c un punto en ese intervalo y sea r cualquier número real. Cree una codificación base 13 de r de la siguiente manera: comenzando con la representación base 10 de r , reemplace el punto decimal con C e indique el signo de r anteponiendo una A (si r es positivo) o una B (si r es negativo) al principio. Por definición de la función base 13 de Conway, la cadena resultante tiene la propiedad de que Además, cualquier cadena base 13 que termine en tendrá esta propiedad. Por lo tanto, si reemplazamos el extremo final de c con el número resultante tendrá f ( c ' ) = r . Al introducir esta modificación lo suficientemente lejos a lo largo de la representación tridecimal de puede asegurarse de que el nuevo número todavía estará en el intervalo Esto demuestra que para cualquier número r , en cada intervalo podemos encontrar un punto tal que ${\displaystyle {\hat {r}}}$ ${\displaystyle f({\hat {r}})=r.}$ ${\displaystyle {\hat {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}},}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle (a,b).}$ ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle f(c')=r.}$
• Por lo tanto, la función Conway de base 13 es discontinua en todas partes: una función real que es continua en x debe estar localmente acotada en x , es decir, debe estar acotada en algún intervalo alrededor de x . Pero, como se muestra arriba, la función Conway de base 13 no está acotada en ningún intervalo alrededor de cada punto; por lo tanto, no es continua en ninguna parte.
• La función base 13 de Conway asigna casi todos los números reales en cualquier intervalo a 0. ^[3]

Véase también

• Función Darboux  – Todas las derivadas tienen la propiedad del valor intermedioPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

1. "Mapas abiertos que no son continuos". Stack Exchange Mathematics . 2018-09-27. En respuesta a la pregunta . Consultado el 2023-07-10 .
2. Bernardi, Claudio (febrero de 2016). "Gráficos de funciones reales con comportamientos patológicos". Soft Computing . 11 : 5–6. arXiv : 1602.07555 . Código Bibliográfico :2016arXiv160207555B.
3. Stein, Noah. "¿Es medible la función de base 13 de Conway?". mathoverflow . Consultado el 6 de agosto de 2023 .

• Oman, Greg (2014). "El recíproco del teorema del valor intermedio: de Conway a Cantor, a clases laterales y más allá" (PDF) . Missouri J. Math. Sci . 26 (2): 134–150. doi :10.35834/mjms/1418931955. Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2016.