Teorema de Darboux (análisis)

Todas las derivadas tienen la propiedad del valor intermedio

En matemáticas, el teorema de Darboux es un teorema de análisis real , llamado así en honor a Jean Gaston Darboux . Afirma que toda función que resulta de la derivación de otra función tiene la propiedad del valor intermedio : la imagen de un intervalo es también un intervalo.

Cuando ƒ es continuamente diferenciable ( ƒ en C ¹ ([ a , b ])), esto es una consecuencia del teorema del valor intermedio . Pero incluso cuando ƒ′ no es continua, el teorema de Darboux impone una severa restricción sobre lo que puede ser.

Teorema de Darboux

Sea un intervalo cerrado , sea una función diferenciable de valor real. Entonces tiene la propiedad de valor intermedio : Si y son puntos en con , entonces para cada entre y , existe un en tal que . ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f'(x)=y}$

Pruebas

Prueba 1. La primera prueba se basa en el teorema del valor extremo .

Si es igual a o , entonces, al establecer que es igual a o , respectivamente, se obtiene el resultado deseado. Ahora supongamos que está estrictamente entre y , y en particular que . Sea tal que . Si es el caso de que ajustemos nuestra prueba a continuación, en lugar de afirmar que tiene su mínimo en . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(b)}$ ${\displaystyle f'(a)>y>f'(b)}$ ${\displaystyle \varphi \colon I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi (t)=f(t)-yt}$ ${\displaystyle f'(a)<y<f'(b)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [a,b]}$

Dado que es continua en el intervalo cerrado , el valor máximo de en se alcanza en algún punto en , según el teorema del valor extremo . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Porque sabemos que no puede alcanzar su valor máximo en . (Si lo hiciera, entonces para todo , lo que implica .) ${\displaystyle \varphi '(a)=f'(a)-y>0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (\varphi (t)-\varphi (a))/(t-a)\leq 0}$ ${\displaystyle t\in (a,b]}$ ${\displaystyle \varphi '(a)\leq 0}$

Del mismo modo, debido a que , sabemos que no puede alcanzar su valor máximo en . ${\displaystyle \varphi '(b)=f'(b)-y<0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle b}$

Por lo tanto, debe alcanzar su valor máximo en algún punto . Por lo tanto, por el teorema de Fermat , , es decir . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x\in (a,b)}$ ${\displaystyle \varphi '(x)=0}$ ${\displaystyle f'(x)=y}$

Prueba 2. La segunda prueba se basa en la combinación del teorema del valor medio y el teorema del valor intermedio . ^{[1] [2]}

Definir . Para definir y . Y para definir y . ${\displaystyle c={\frac {1}{2}}(a+b)}$ ${\displaystyle a\leq t\leq c,}$ ${\displaystyle \alpha (t)=a}$ ${\displaystyle \beta (t)=2t-a}$ ${\displaystyle c\leq t\leq b,}$ ${\displaystyle \alpha (t)=2t-b}$ ${\displaystyle \beta (t)=b}$

Por lo tanto, para tenemos . Ahora, definamos con . es continua en . ${\displaystyle t\in (a,b)}$ ${\displaystyle a\leq \alpha (t)<\beta (t)\leq b}$ ${\displaystyle g(t)={\frac {(f\circ \beta )(t)-(f\circ \alpha )(t)}{\beta (t)-\alpha (t)}}}$ ${\displaystyle a<t<b}$ ${\displaystyle \,g}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Además, cuando y cuando ; por lo tanto, a partir del Teorema del Valor Intermedio, si entonces, existe tal que . Fijemos . ${\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(a)}$ ${\displaystyle t\rightarrow a}$ ${\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(b)}$ ${\displaystyle t\rightarrow b}$ ${\displaystyle y\in ({f}'(a),{f}'(b))}$ ${\displaystyle t_{0}\in (a,b)}$ ${\displaystyle g(t_{0})=y}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Del teorema del valor medio se deduce que existe un punto tal que . Por lo tanto, . ${\displaystyle x\in (\alpha (t_{0}),\beta (t_{0}))}$ ${\displaystyle {f}'(x)=g(t_{0})}$ ${\displaystyle {f}'(x)=y}$

Función Darboux

Una función Darboux es una función de valor real ƒ que tiene la "propiedad del valor intermedio": para dos valores cualesquiera a y b en el dominio de ƒ , y cualquier y entre ƒ ( a ) y ƒ ( b ), existe alguna c entre a y b con ƒ ( c ) = y . ^[4] Por el teorema del valor intermedio , toda función continua en un intervalo real es una función Darboux. La contribución de Darboux fue demostrar que existen funciones Darboux discontinuas.

Toda discontinuidad de una función Darboux es esencial , es decir, en cualquier punto de discontinuidad, al menos uno de los límites izquierdo y derecho no existe.

Un ejemplo de una función Darboux que es discontinua en un punto es la función de curva sinusoidal del topólogo :

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{for }}x\neq 0,\\0&{\text{for }}x=0.\end{cases}}}$

Según el teorema de Darboux, la derivada de cualquier función diferenciable es una función de Darboux. En particular, la derivada de la función es una función de Darboux aunque no sea continua en un punto. ${\displaystyle x\mapsto x^{2}\sin(1/x)}$

Un ejemplo de una función Darboux que no es continua en ninguna parte es la función Conway base 13 .

Las funciones de Darboux son una clase bastante general de funciones. Resulta que cualquier función de valor real ƒ en la recta real puede escribirse como la suma de dos funciones de Darboux. ^[5] Esto implica en particular que la clase de funciones de Darboux no está cerrada respecto de la adición.

Una función Darboux fuerte es aquella en la que la imagen de cada intervalo abierto (no vacío) es la recta real completa. La función Conway de base 13 es otro ejemplo. ^[4]

Notas

1. Apostol, Tom M.: Análisis matemático: un enfoque moderno para el cálculo avanzado, 2.ª edición, Addison-Wesley Longman, Inc. (1974), página 112.
2. Olsen, Lars: Una nueva prueba del teorema de Darboux , vol. 111, núm. 8 (octubre de 2004) (págs. 713-715), The American Mathematical Monthly
3. Rudin, Walter: Principios del análisis matemático, 3.ª edición, MacGraw-Hill, Inc. (1976), página 108
4. Ciesielski, Krzysztof (1997). Teoría de conjuntos para el matemático en activo . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 39. Cambridge: Cambridge University Press . Págs. 106-111. ISBN. 0-521-59441-3.Zbl 0938.03067  .
5. Bruckner, Andrew M: Diferenciación de funciones reales , 2.ª edición, página 6, American Mathematical Society, 1994

Enlaces externos

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• "Teorema de Darboux", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]