Función en la teoría q-analógica
En la teoría q-analógica , la función -gamma , o función gamma básica , es una generalización de la función gamma ordinaria estrechamente relacionada con la función gamma doble . Fue introducida por Jackson (1905). Está dada por
cuando , y
si . Aquí está el símbolo q-Pochhammer infinito . La función -gamma satisface la ecuación funcional
Además, la función -gamma satisface el q-análogo del teorema de Bohr-Mollerup , que fue encontrado por Richard Askey (Askey (1978)).
Para números enteros no negativos n ,
donde es la función q-factorial . Por lo tanto, la función -gamma puede considerarse como una extensión de la función q-factorial a los números reales.
La relación con la función gamma ordinaria se hace explícita en el límite
. Hay una prueba sencilla de este límite realizada por Gosper. Véase el apéndice de ( Andrews (1986)).
Propiedades de transformación
La función -gamma satisface el análogo q de la fórmula de multiplicación de Gauss (Gasper y Rahman (2004)):
Representación integral
La función -gamma tiene la siguiente representación integral ( Ismail (1981)):
Fórmula Stirling
Moak obtuvo el siguiente análogo q de la fórmula de Stirling (ver Moak (1984)):
donde , denota la función escalonada de Heaviside , representa el número de Bernoulli , es el dilogaritmo y es un polinomio de grado que satisface
Fórmulas de tipo Raabe
Gracias a I. Mező, el análogo q de la fórmula de Raabe existe, al menos si utilizamos la función q-gamma cuando . Con esta restricción,
El Bachraoui consideró el caso y demostró que
Valores especiales
Se conocen los siguientes valores especiales. [1]
Estos son los análogos de la fórmula clásica .
Además, son válidos los siguientes análogos de la identidad familiar :
Versión Matrix
Sea una matriz cuadrada compleja y una matriz definida positiva . Entonces, una función matricial q-gamma se puede definir mediante la integral q: [2]
donde es la función q-exponencial .
Otras funciones q-gamma
Para otras funciones q-gamma, véase Yamasaki 2006. [3]
Cálculo numérico
Gabutti y Allasia propusieron un algoritmo iterativo para calcular la función q-gamma. [4]
Lectura adicional
- Zhang, Ruiming (2007), "Sobre la asintótica de las funciones q -gamma", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 339 (2): 1313–1321, arXiv : 0705.2802 , Bibcode :2008JMAA..339.1313Z, doi :10.1016/j.jmaa.2007.08.006, S2CID 115163047
- Zhang, Ruiming (2010), "Sobre la asintótica de Γ q (z) cuando q se acerca a 1", arXiv : 1011.0720 [math.CA]
- Ismail, Mourad EH; Muldoon, Martin E. (1994), "Inequalities and monotonicity properties for gamma and q -gamma functions", en Zahar, RVM (ed.), Approximation and computation a festschrift in honor of Walter Gautschi: Proceedings of the Purdue conference, December 2-5, 1993 , vol. 119, Boston: Birkhäuser Verlag, pp. 309–323, arXiv : 1301.1749 , doi :10.1007/978-1-4684-7415-2_19, ISBN 978-1-4684-7415-2, Número de identificación del sujeto 118563435
Referencias
- ^ Mező, István (2011), "Varios valores especiales de las funciones theta de Jacobi", arXiv : 1106.1042 [math.NT]
- ^ Salem, Ahmed (junio de 2012). "Sobre funciones matriciales q -gamma y q -beta". Álgebra lineal y multilineal . 60 (6): 683–696. doi :10.1080/03081087.2011.627562. S2CID 123011613.
- ^ Yamasaki, Yoshinori (diciembre de 2006). "Sobre los análogos q de las funciones zeta múltiples de Barnes". Tokyo Journal of Mathematics . 29 (2): 413–427. arXiv : math/0412067 . doi :10.3836/tjm/1170348176. MR 2284981. S2CID 14082358. Zbl 1192.11060.
- ^ Gabutti, Bruno; Allasia, Giampietro (17 de septiembre de 2008). "Evaluación de la función q-gamma y q-análogos mediante algoritmos iterativos". Algoritmos Numéricos . 49 (1–4): 159–168. Código Bib : 2008NuAlg..49..159G. doi :10.1007/s11075-008-9196-5. S2CID 6314057.
- Jackson, FH (1905), "La función gamma básica y las funciones elípticas", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico , 76 (508), The Royal Society: 127–144, Bibcode :1905RSPSA..76..127J, doi : 10.1098/rspa.1905.0011 , ISSN 0950-1207, JSTOR 92601
- Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Series hipergeométricas básicas , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 96 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, Sr. 2128719
- Ismail, Mourad (1981), "Las funciones y polinomios básicos de Bessel", Revista SIAM sobre análisis matemático , 12 (3): 454–468, doi :10.1137/0512038
- Moak, Daniel S. (1984), "El análogo Q de la fórmula de Stirling", Rocky Mountain J. Math. , 14 (2): 403–414, doi : 10.1216/RMJ-1984-14-2-403
- Mező, István (2012), "Una fórmula q-Raabe y una integral de la cuarta función theta de Jacobi", Journal of Number Theory , 133 (2): 692–704, doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 , hdl : 2437/166217
- El Bachraoui, Mohamed (2017), "Pruebas breves para la fórmula q-Raabe e integrales para funciones theta de Jacobi", Journal of Number Theory , 173 (2): 614–620, doi : 10.1016/j.jnt.2016.09.028
- Askey, Richard (1978), "Las funciones q-gamma y q-beta"., Applicable Analysis , 8 (2): 125–141, doi :10.1080/00036817808839221
- Andrews, George E. (1986), Serie q: su desarrollo y aplicación en análisis, teoría de números, combinatoria, física y álgebra computacional. , Serie de conferencias regionales en matemáticas, vol. 66, American Mathematical Society