Teorema de circulación de Kelvin

Teorema sobre la circulación en un fluido ideal barotrópico

En mecánica de fluidos , el teorema de circulación de Kelvin (llamado así en honor a William Thomson, primer barón Kelvin que lo publicó en 1869) establece: ^{[1] [2]}

En un fluido barotrópico ideal con fuerzas corporales conservadoras , la circulación alrededor de una curva cerrada (que encierra los mismos elementos fluidos) que se mueve con el fluido permanece constante con el tiempo.

Dicho matemáticamente:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}$

¿Dónde está la circulación alrededor de un contorno material? Dicho de manera más simple, este teorema dice que si uno observa un contorno cerrado en un instante y sigue el contorno a lo largo del tiempo (siguiendo el movimiento de todos sus elementos fluidos), la circulación sobre los dos las ubicaciones de este contorno son iguales. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C(t).}$

Este teorema no se cumple en casos con tensiones viscosas , fuerzas corporales no conservativas (por ejemplo, la fuerza de Coriolis ) o relaciones presión-densidad no barotrópicas.

prueba matemática

La circulación alrededor de un contorno material cerrado está definida por: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C(t)}$

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

donde u es el vector velocidad y ds es un elemento a lo largo del contorno cerrado.

La ecuación gobernante para un fluido no viscoso con una fuerza corporal conservadora es

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$

donde D/D t es la derivada convectiva , ρ es la densidad del fluido, p es la presión y Φ es el potencial de la fuerza del cuerpo. Estas son las ecuaciones de Euler con una fuerza corporal.

La condición de barotropicidad implica que la densidad es función únicamente de la presión, es decir . ${\displaystyle \rho =\rho (p)}$

Tomando la derivada convectiva de la circulación se obtiene

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}.}$

Para el primer término, sustituimos de la ecuación gobernante y luego aplicamos el teorema de Stokes , así:

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.}$

La igualdad final surge desde entonces debido a la barotropicidad. También hemos aprovechado el hecho de que la curvatura de cualquier gradiente es necesariamente 0, o para cualquier función . ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p=0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0}$ ${\displaystyle f}$

Para el segundo término, observamos que la evolución del elemento de línea material está dada por

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}.}$

Por eso

${\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=0.}$

La última igualdad se obtiene aplicando el teorema del gradiente .

Como ambos términos son cero, obtenemos el resultado

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0.}$

Teorema de la circulación de Poincaré-Bjerknes

También se puede obtener un principio similar que conserva una cantidad para el sistema giratorio, conocido como teorema de Poincaré-Bjerknes, que lleva el nombre de Henri Poincaré y Vilhelm Bjerknes , quienes derivaron la invariante en 1893 ^{[3] [4]} y 1898. ^{[5] [6]} El teorema se puede aplicar a un marco giratorio que gira a una velocidad angular constante dada por el vector , para la circulación modificada. ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

Aquí está la posición del área de líquido. Según el teorema de Stokes , esto es: ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

${\displaystyle \Gamma (t)=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}$

La vorticidad de un campo de velocidades en dinámica de fluidos se define por:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}}$

Entonces:

${\displaystyle \Gamma (t)=\int _{A}({\boldsymbol {\omega }}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}$

Ver también

• El principio de Bernoulli
• Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)
• teoremas de helmholtz
• Convección termomagnética

Notas

1. Kundu, P y Cohen, I: Mecánica de fluidos , página 130. Academic Press 2002
2. Katz, Plotkin: Aerodinámica de baja velocidad
3. Poincaré, H. (1893). Théorie des tourbillons: Leçons professées colgante le deuxième semestre 1891-92 (Vol. 11). Gauthier-Villars. Artículo 158
4. Truesdell, C. (2018). La cinemática de la vorticidad. Publicaciones de Courier Dover.
5. Bjerknes, V., Rubenson, R. y Lindstedt, A. (1898). Ueber einen Hydrodynamischen Fundamentalsatz und seine Anwendung: besonders auf die Mechanik der Atmosphäre und des Weltmeeres. kungl. Boktryckeriet. PA Norstedt & Söner.
6. Chandrasekhar, S. (2013). Estabilidad hidrodinámica e hidromagnética. Corporación de mensajería.