Teorema del gradiente

Evalúa una integral de línea a través de un campo de gradiente utilizando el campo escalar original

El teorema del gradiente , también conocido como teorema fundamental del cálculo para integrales de línea , dice que una integral de línea a través de un campo gradiente se puede evaluar evaluando el campo escalar original en los puntos finales de la curva. El teorema es una generalización del segundo teorema fundamental del cálculo a cualquier curva en un plano o espacio (generalmente n -dimensional) en lugar de solo a la línea real.

Si φ  : U ⊆ R ⁿ → R es una función diferenciable y γ una curva diferenciable en U que comienza en un punto p y termina en un punto q , entonces

$${\displaystyle \int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)}$$

donde ∇ φ denota el campo vectorial gradiente de φ .

El teorema del gradiente implica que las integrales de línea a través de campos de gradiente son independientes de la ruta . En física este teorema es una de las formas de definir una fuerza conservativa . Al colocar φ como potencial, ∇ φ es un campo conservador . El trabajo realizado por las fuerzas conservativas no depende de la trayectoria seguida por el objeto, sino sólo de los puntos finales, como muestra la ecuación anterior.

El teorema del gradiente también tiene un recíproco interesante: cualquier campo vectorial independiente de la trayectoria se puede expresar como el gradiente de un campo escalar . Al igual que el propio teorema del gradiente, este recíproco tiene muchas consecuencias y aplicaciones sorprendentes tanto en matemáticas puras como aplicadas.

Prueba

Si φ es una función diferenciable de algún subconjunto abierto U ⊆ R ⁿ a R y r es una función diferenciable de algún intervalo cerrado [ a , b ] a U (tenga en cuenta que r es diferenciable en los puntos finales del intervalo a y b . Para hacer esto , r se define en un intervalo que es mayor que e incluye [ a , b ] .), entonces por la regla de la cadena multivariada , la función compuesta φ ∘ r es diferenciable en [ a , b ] :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$$

para todo t en [ a , b ] . Aquí el ⋅ denota el producto interior habitual .

Ahora supongamos que el dominio U de φ contiene la curva diferenciable γ con puntos finales p y q . (Esto está orientado en la dirección de p a q ). Si r parametriza γ para t en [ a , b ] (es decir, r representa γ en función de t ), entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}}$$

donde la definición de integral de línea se usa en la primera igualdad, la ecuación anterior se usa en la segunda igualdad y el segundo teorema fundamental del cálculo se usa en la tercera igualdad. ^[1]

Incluso si el teorema del gradiente (también llamado teorema fundamental del cálculo para integrales de línea ) se ha demostrado hasta ahora para una curva diferenciable (por lo que parece suave), el teorema también se demuestra para una curva suave por tramos, ya que esta curva se forma uniendo múltiples curvas diferenciables, por lo que la prueba de esta curva se realiza mediante la prueba por componente de curva diferenciable. ^[2]

Ejemplos

Ejemplo 1

Supongamos que γ ⊂ R ² es el arco circular orientado en sentido antihorario desde (5, 0) hasta (−4, 3) . Usando la definición de integral de línea ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}}$$

Este resultado se puede obtener de manera mucho más simple al notar que la función tiene gradiente , por lo que según el teorema del gradiente: ${\displaystyle f(x,y)=xy}$ ${\displaystyle \nabla f(x,y)=(y,x)}$

$${\displaystyle \int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.}$$

Ejemplo 2

Para un ejemplo más abstracto, supongamos que γ ⊂ R ⁿ tiene puntos finales p , q , con orientación de p a q . Para u en R ⁿ , sea | tu | denota la norma euclidiana de u . Si α ≥ 1 es un número real, entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}}$$

Aquí la igualdad final se deriva del teorema del gradiente, ya que la función f ( x ) = | x | ^{α +1} es diferenciable en R ⁿ si α ≥ 1 .

Si α < 1 entonces esta igualdad seguirá siendo válida en la mayoría de los casos, pero se debe tener precaución si γ pasa por o encierra el origen, porque el campo vectorial integrando | x | ^{α − 1} x no podrá definirse allí. Sin embargo, el caso α = −1 es algo diferente; en este caso, el integrando se convierte en | x | ⁻² x = ∇(log | x |) , de modo que la igualdad final se convierte en log | q | − iniciar sesión | pag | .

Tenga en cuenta que si n = 1 , entonces este ejemplo es simplemente una ligera variante de la conocida regla de potencia del cálculo de una sola variable.

Ejemplo 3

_{Supongamos que} hay n cargas puntuales dispuestas en un espacio tridimensional, y la i -ésima carga puntual tiene carga Qi y está ubicada en la posición p _i en R ³ . Nos gustaría calcular el trabajo realizado sobre una partícula de carga q mientras viaja desde un punto a hasta un punto b en R ³ . Usando la ley de Coulomb , podemos determinar fácilmente que la fuerza sobre la partícula en la posición r será

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}}$$

Aquí | tu | denota la norma euclidiana del vector u en R ³ , y k = 1/(4 πε ₀ ) , donde ε ₀ es la permitividad del vacío .

Sea γ ⊂ R ³ − { p ₁ , ..., p _n } una curva arbitraria diferenciable de a a b . Entonces el trabajo realizado sobre la partícula es

$${\displaystyle W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)}$$

Ahora, para cada i , el cálculo directo muestra que

$${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.}$$

Así, continuando desde arriba y usando el teorema del gradiente,

$${\displaystyle W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)}$$

Terminamos. Por supuesto, podríamos haber completado fácilmente este cálculo utilizando el poderoso lenguaje del potencial electrostático o energía potencial electrostática (con las conocidas fórmulas W = −Δ U = − q Δ V ). Sin embargo, todavía no hemos definido la energía potencial o potencial, porque se requiere lo contrario del teorema del gradiente para demostrar que se trata de funciones diferenciables y bien definidas y que estas fórmulas se cumplen (ver más abajo). Por tanto, hemos resuelto este problema utilizando únicamente la ley de Coulomb, la definición de trabajo y el teorema del gradiente.

Inverso del teorema del gradiente

El teorema del gradiente establece que si el campo vectorial F es el gradiente de alguna función con valores escalares (es decir, si F es conservadora ), entonces F es un campo vectorial independiente de la trayectoria (es decir, la integral de F sobre alguna curva diferenciable por partes depende sólo de los puntos finales). Este teorema tiene un poderoso recíproco:

Teorema  :  si F es un campo vectorial independiente de la ruta, entonces F es el gradiente de alguna función con valores escalares. ^[3]

Es sencillo demostrar que un campo vectorial es independiente de la trayectoria si y sólo si la integral del campo vectorial sobre cada bucle cerrado en su dominio es cero. Por tanto, lo contrario se puede plantear alternativamente de la siguiente manera: si la integral de F sobre cada bucle cerrado en el dominio de F es cero, entonces F es el gradiente de alguna función con valores escalares.

Prueba de lo contrario

Supongamos que U es un subconjunto abierto de R ⁿ conectado por trayectoria , y F  : U → R ⁿ es un campo vectorial continuo e independiente de la trayectoria. Fije algún elemento a de U y defina f  : U → R por

$${\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }$$

γ [ a , x ]Uaxfbien definidaF

Sea v cualquier vector distinto de cero en R ⁿ . Según la definición de derivada direccional ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}}$$

parametrizar γ [ x , x + t v ]FUtu ( s ) = x + s v0 < s < tu' ( s ) = v

$${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$$

la definición de la derivadatprimer teorema fundamental del cálculo∂ _v fderivada direccionalvv ${\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$$

la definición del gradienteffFF^[3] ${\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )}$

Ejemplo del principio inverso

Para ilustrar el poder de este principio inverso, citamos un ejemplo que tiene importantes consecuencias físicas . En el electromagnetismo clásico , la fuerza eléctrica es una fuerza independiente de la trayectoria; es decir, el trabajo realizado sobre una partícula que ha regresado a su posición original dentro de un campo eléctrico es cero (suponiendo que no haya campos magnéticos cambiantes).

Por lo tanto, el teorema anterior implica que el campo de fuerza eléctrica F _e  : S → R ³ es conservativo (aquí S es un subconjunto abierto y conectado por trayectoria de R ³ que contiene una distribución de carga ). Siguiendo las ideas de la prueba anterior, podemos establecer algún punto de referencia a en S y definir una función U _e : S → R por

$${\displaystyle U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }$$

Usando la prueba anterior, sabemos que U _e está bien definido y es diferenciable, y F _e = −∇ U _e (a partir de esta fórmula podemos usar el teorema del gradiente para derivar fácilmente la conocida fórmula para calcular el trabajo realizado por fuerzas conservativas: W = −ΔU ) . Esta función U _e a menudo se denomina energía potencial electrostática del sistema de cargas en S (con referencia al potencial cero a ). En muchos casos, se supone que el dominio S es ilimitado y que el punto de referencia a es "infinito", lo que puede hacerse riguroso utilizando técnicas limitantes. Esta función U _e es una herramienta indispensable utilizada en el análisis de muchos sistemas físicos.

Generalizaciones

Muchos de los teoremas críticos del cálculo vectorial se generalizan elegantemente a afirmaciones sobre la integración de formas diferenciales en variedades . En el lenguaje de las formas diferenciales y las derivadas exteriores , el teorema del gradiente establece que

$${\displaystyle \int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi }$$

para cualquier forma 0 , ϕ , definida en alguna curva diferenciable γ ⊂ R ⁿ (aquí se entiende que la integral de ϕ sobre el límite de γ es la evaluación de ϕ en los puntos finales de γ ).

Observe la sorprendente similitud entre esta afirmación y el teorema generalizado de Stokes , que dice que la integral de cualquier forma diferencial ω soportada compactamente sobre el límite de alguna variedad orientable Ω es igual a la integral de su derivada exterior d ω sobre la totalidad de Ω. , es decir,

$${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega }$$

Esta poderosa afirmación es una generalización del teorema del gradiente desde formas 1 definidas en variedades unidimensionales hasta formas diferenciales definidas en variedades de dimensión arbitraria.

El enunciado inverso del teorema del gradiente también tiene una poderosa generalización en términos de formas diferenciales en variedades. En particular, supongamos que ω es una forma definida en un dominio contráctil y la integral de ω sobre cualquier variedad cerrada es cero. Entonces existe una forma ψ tal que ω = d ψ . Así, en un dominio contráctil, toda forma cerrada es exacta . Este resultado se resume en el lema de Poincaré .

Ver también

• Función estatal
• potencial escalar
• Teorema de la curva de Jordan
• Diferencial de una función
• Mecanica clasica
• Integral de línea § Independencia de trayectoria
• Campo vectorial conservador § Independencia de ruta

Referencias

1. Williamson, Richard y Trotter, Hale. (2004). Matemáticas multivariables, cuarta edición, pág. 374. Pearson Educación, Inc.
2. Stewart, James (2021). "16.3 El teorema fundamental de las integrales de línea". Cálculo (9ª ed.). Aprendizaje Cengage. págs. 1182-1185. ISBN 978-1-337-62418-3.
3. "Williamson, Richard y Trotter, Hale. (2004). Matemáticas multivariables, cuarta edición , p. 410. Pearson Education, Inc."