Frecuencia negativa

El vector que gira en sentido antihorario (cos t , sen t ) tiene una frecuencia positiva de +1 radián por unidad de tiempo . No se muestra un vector que gira en sentido horario (cos (− t ), sen (− t )) que tiene una frecuencia negativa de -1 radián por unidad de tiempo. Ambos giran alrededor del círculo unitario cada 2 π unidades de tiempo, pero en direcciones opuestas.

En matemáticas , el concepto de frecuencia con signo ( frecuencia negativa y positiva ) puede indicar tanto la velocidad como el sentido de rotación ; puede ser tan simple como una rueda que gira en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario. La velocidad se expresa en unidades como revoluciones (también conocidas como ciclos ) por segundo ( hercios ) o radianes/segundo (donde 1 ciclo corresponde a 2 π  radianes ).

Ejemplo: Matemáticamente hablando, el vector tiene una frecuencia positiva de +1 radián por unidad de tiempo y gira en sentido antihorario alrededor del círculo unitario , mientras que el vector tiene una frecuencia negativa de -1 radián por unidad de tiempo, que gira en el sentido de las agujas del reloj. ${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle (\cos(-t),\sin(-t))}$

Sinusoides

Sea ω > 0 una frecuencia angular con unidades de radianes/segundo. Entonces, la función f(t) = −ωt + θ tiene pendiente −ω , que se denomina frecuencia negativa . Pero cuando la función se utiliza como argumento de un operador coseno, el resultado es indistinguible de cos( ωt − θ ) . De manera similar, sin(− ωt + θ ) es indistinguible de sin( ωt − θ + π ) . Por lo tanto, cualquier senoide se puede representar en términos de una frecuencia positiva. El signo de la pendiente de fase subyacente es ambiguo.

Una frecuencia negativa hace que la función seno (violeta) se adelante a la función coseno (roja) en 1/4 de ciclo.

La ambigüedad se resuelve cuando los operadores coseno y seno se pueden observar simultáneamente, porque cos( ωt + θ ) se adelanta a sen( ωt + θ ) en 1 ⁄ 4  de ciclo (es decir, π ⁄ 2  radianes) cuando ω > 0 , y se retrasa en 1 ⁄ 4  de ciclo cuando ω < 0 . De manera similar, un vector, (cos ωt , sen ωt ) , gira en sentido antihorario si ω > 0 , y en sentido horario si ω < 0 . Por lo tanto, el signo de también se conserva en la función de valor complejo : ${\displaystyle \omega }$

cuyo corolario es:

En la ecuación 1, el segundo término es una adición que resuelve la ambigüedad. En la ecuación 2, el segundo término parece una adición, pero en realidad es una cancelación que reduce un vector bidimensional a una sola dimensión, lo que genera la ambigüedad. La ecuación 2 también muestra por qué la transformada de Fourier tiene respuestas en ambos casos , aunque solo puede tener un signo. Lo que hace la respuesta falsa es permitir que la transformada inversa distinga entre una función de valor real y una compleja. ${\displaystyle \cos(\omega t)}$ ${\displaystyle \pm \omega ,}$ ${\displaystyle \omega }$

Aplicaciones

Simplificando la transformada de Fourier

Quizás la aplicación más conocida de la frecuencia negativa es la fórmula:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt,}$

que es una medida de la energía en función de la frecuencia. Cuando se evalúa para un continuo de argumentos, el resultado se llama transformada de Fourier . ^[A] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \omega .}$ ${\displaystyle \omega ,}$

Por ejemplo, considere la función:

${\displaystyle f(t)=A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t},\ \forall \ t\in \mathbb {R} ,\ \omega _{1}>0,\ \omega _{2}>0.}$

Y:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }[A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t}]e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i\omega _{1}t}e^{-i\omega t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i\omega _{2}t}e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i(\omega _{1}-\omega )t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i(\omega _{2}-\omega )t}dt\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que, aunque la mayoría de las funciones no comprenden senos de duración infinita, esa idealización es una simplificación común para facilitar la comprensión.

Si observamos el primer término de este resultado, cuando la frecuencia negativa cancela la frecuencia positiva, quedando solo el coeficiente constante (porque ), lo que hace que la integral infinita diverja. En otros valores de las oscilaciones residuales, la integral converge a cero. Esta transformada de Fourier idealizada suele escribirse como: ${\displaystyle \omega =\omega _{1},}$ ${\displaystyle -\omega _{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle e^{i0t}=e^{0}=1}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=2\pi A_{1}\delta (\omega -\omega _{1})+2\pi A_{2}\delta (\omega -\omega _{2}).}$

En duraciones realistas, las divergencias y convergencias son menos extremas y aparecen convergencias no nulas más pequeñas ( fuga espectral ) en muchas otras frecuencias, pero el concepto de frecuencia negativa sigue siendo válido. La formulación original de Fourier ( la transformada del seno y la transformada del coseno ) requiere una integral para el coseno y otra para el seno. Y las expresiones trigonométricas resultantes suelen ser menos manejables que las expresiones exponenciales complejas (véase Señal analítica , Fórmula de Euler § Relación con la trigonometría y Fasor ).

Muestreo de frecuencias positivas y negativas y aliasing

Esta figura muestra dos sinusoides complejas, de color dorado y cian, que se ajustan a los mismos conjuntos de puntos de muestra reales e imaginarios. Por lo tanto, son alias entre sí cuando se muestrean a la velocidad ( f _s ) indicada por las líneas de la cuadrícula. La función de color dorado representa una frecuencia positiva, porque su parte real (la función cos) adelanta a su parte imaginaria en 1/4 de un ciclo. La función cian representa una frecuencia negativa, porque su parte real va atrasada con respecto a la parte imaginaria.

Véase también

• Angulo § Signo

Notas

1. Existen varias formas de la transformada de Fourier. Esta es la forma no unitaria en frecuencia angular del tiempo

Lectura adicional

• Lyons, Richard G. (11 de noviembre de 2010). Capítulo 8.4. Entendiendo el procesamiento de señales digitales (3.ª ed.). Prentice Hall. 944 págs. ISBN  0137027419 .
• Lyons, Richard G. (noviembre de 2001). "Comprensión del dominio de frecuencia del procesamiento de señales digitales". Revista RF Design . Consultado el 29 de diciembre de 2022 .