Frecuencia de Brunt-Väisälä

Medida de estabilidad del fluido frente al desplazamiento vertical.

En dinámica atmosférica , oceanografía , astrosismología y geofísica , la frecuencia Brunt-Väisälä , o frecuencia de flotabilidad , es una medida de la estabilidad de un fluido ante desplazamientos verticales como los provocados por la convección . Más precisamente, es la frecuencia a la que oscilará un paquete desplazado verticalmente dentro de un entorno estáticamente estable. Lleva el nombre de David Brunt y Vilho Väisälä . Puede utilizarse como medida de estratificación atmosférica.

Derivación para un fluido general.

Considere una porción de agua o gas que tiene densidad . Esta parcela se encuentra en un entorno de otras partículas de agua o gas donde la densidad del entorno es función de la altura: . Si la parcela se desplaza un pequeño incremento vertical , y mantiene su densidad original de modo que su volumen no cambia, estará sujeta a una fuerza gravitacional extra contra su entorno de: ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \rho =\rho (z)}$ ${\displaystyle z'}$

${\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}=-g\left[\rho (z)-\rho (z+z')\right]}$

donde es la aceleración gravitacional y se define como positiva. Hacemos una aproximación lineal a , y nos desplazamos al lado derecho: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho (z+z')-\rho (z)={\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}z'}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}={\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}z'}$

La ecuación diferencial de segundo orden anterior tiene la siguiente solución:

${\displaystyle z'=z'_{0}e^{iNt}\!}$

donde la frecuencia Brunt-Väisälä es: ^[1] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N={\sqrt {-{\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}}}}$

Para negativo , el desplazamiento tiene soluciones oscilantes (y N da nuestra frecuencia angular). Si es positivo, entonces hay un crecimiento descontrolado, es decir, el fluido es estáticamente inestable. ${\displaystyle {\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}}$ ${\displaystyle z'}$

En meteorología y astrofísica.

Para una parcela de gas, la densidad sólo permanecerá fija como se asumió en la derivación anterior si la presión, , es constante con la altura, lo que no es cierto en una atmósfera confinada por la gravedad. En cambio, la parcela se expandirá adiabáticamente a medida que disminuya la presión. Por tanto, una formulación más general utilizada en meteorología es: ${\displaystyle P}$

${\displaystyle N\equiv {\sqrt {{\frac {g}{\theta }}{\frac {d\theta }{dz}}}}}$, donde es la temperatura potencial , es la aceleración local de la gravedad y es la altura geométrica . ^[2] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle z}$

Dado que , donde es una presión de referencia constante, para un gas perfecto esta expresión equivale a: ${\displaystyle \theta =T(P_{0}/P)^{R/c_{P}}}$ ${\displaystyle P_{0}}$

${\displaystyle N^{2}\equiv g\left\{{\frac {1}{T}}{\frac {dT}{dz}}-{\frac {R}{c_{P}}}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}\right\}=g\left\{{\frac {1}{T}}{\frac {dT}{dz}}-{\frac {\gamma -1}{\gamma }}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}\right\}}$,

donde en la última forma , el índice adiabático . Usando la ley de los gases ideales , podemos eliminar la temperatura para expresarla en términos de presión y densidad: ${\displaystyle \gamma =c_{P}/c_{V}}$ ${\displaystyle N^{2}}$

${\displaystyle N^{2}\equiv g\left\{{\frac {1}{\gamma }}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dz}}\right\}=g\left\{{\frac {1}{\gamma }}{\frac {d\ln P}{dz}}-{\frac {d\ln \rho }{dz}}\right\}}$.

De hecho, esta versión es más general que la primera, ya que se aplica cuando la composición química del gas varía con la altura, y también para gases imperfectos con índice adiabático variable, en cuyo caso , es decir , la derivada se toma con entropía constante . ^[3] ${\displaystyle \gamma \equiv \gamma _{01}=(\partial \ln P/\partial \ln \rho )_{S}}$ ${\displaystyle S}$

Si una porción de gas se empuja hacia arriba y , la porción de aire se moverá hacia arriba y hacia abajo alrededor de la altura donde la densidad de la porción coincida con la densidad del aire circundante. Si el paquete de aire se empuja hacia arriba y , el paquete de aire no se moverá más. Si la parcela de aire es empujada hacia arriba y (es decir, la frecuencia Brunt-Väisälä es imaginaria), entonces la parcela de aire ascenderá y ascenderá a menos que vuelva a ser positiva o cero más arriba en la atmósfera. En la práctica, esto conduce a la convección y, por tanto, el criterio de Schwarzschild para la estabilidad frente a la convección (o el criterio de Ledoux si hay estratificación composicional) es equivalente a la afirmación de que debería ser positivo. ${\displaystyle N^{2}>0}$ ${\displaystyle N^{2}=0}$ ${\displaystyle N^{2}<0}$ ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle N^{2}}$

La frecuencia Brunt-Väisälä aparece comúnmente en las ecuaciones termodinámicas de la atmósfera y en la estructura de las estrellas.

Trayectoria de una porción de fluido desplazada 1 m en un fluido estratificado inestable de frecuencia Brunt-Väisälä N² = -1 /s²

Oscilaciones de una porción de fluido inicialmente desplazada 1 m en un fluido estratificado estable con frecuencia Brunt-Väisälä N=1/s.

En oceanografía

En el océano donde la salinidad es importante, o en lagos de agua dulce cerca del punto de congelación, donde la densidad no es una función lineal de la temperatura:

$${\displaystyle N\equiv {\sqrt {-{g \over {\rho }}{d\rho \over {dz}}}}}$$

densidad potencial ${\displaystyle \rho }$

Contexto

El concepto deriva de la Segunda Ley de Newton cuando se aplica a una parcela de fluido en presencia de una estratificación de fondo (en la que la densidad cambia en sentido vertical; es decir, se puede decir que la densidad tiene múltiples capas verticales). El paquete, perturbado verticalmente desde su posición inicial, experimenta una aceleración vertical. Si la aceleración regresa a la posición inicial, se dice que la estratificación es estable y la parcela oscila verticalmente. En este caso, N ² > 0 y la frecuencia angular de oscilación se da N . Si la aceleración se aleja de la posición inicial ( N ² < 0 ), la estratificación es inestable. En este caso se produce generalmente un vuelco o una convección.

La frecuencia Brunt-Väisälä se relaciona con las ondas de gravedad internas : es la frecuencia cuando las ondas se propagan horizontalmente; y proporciona una descripción útil de la estabilidad atmosférica y oceánica.

Ver también

• Flotabilidad
• celda de benard

Referencias

1. Vallis, Geoffrey K. (2017). Dinámica de fluidos atmosféricos y oceánicos: fundamentos y circulación a gran escala (2ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . Bibcode : 2017aofd.book..... V. doi :10.1017/9781107588417. ISBN 9781107588417. OCLC  990033511. S2CID  115699889.
2. Emmanuel, KA (1994). Convección atmosférica . Prensa de la Universidad de Oxford. doi :10.1002/joc.3370150709. ISBN 0195066308.
3. Christensen-Dalsgaard, Jørgen (2014), Apuntes de conferencias sobre oscilaciones estelares (PDF) (5ª ed.)