Frecuencia de Brunt-Väisälä

Medida de la estabilidad del fluido frente al desplazamiento vertical

En dinámica atmosférica , oceanografía , astrosismología y geofísica , la frecuencia de Brunt–Väisälä , o frecuencia de flotabilidad , es una medida de la estabilidad de un fluido ante desplazamientos verticales como los causados ​​por la convección . Más precisamente, es la frecuencia a la que una parcela desplazada verticalmente oscilará dentro de un entorno estáticamente estable. Recibe su nombre en honor a David Brunt y Vilho Väisälä . Puede utilizarse como medida de la estratificación atmosférica.

Derivación para un fluido general

Consideremos una parcela de agua o gas que tiene una densidad . Esta parcela se encuentra en un entorno de otras partículas de agua o gas donde la densidad del entorno es una función de la altura: . Si la parcela se desplaza en un pequeño incremento vertical , y mantiene su densidad original de modo que su volumen no cambia, estará sujeta a una fuerza gravitacional adicional contra sus alrededores de: ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \rho =\rho (z)}$ ${\displaystyle z'}$

${\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}=-g\left[\rho (z)-\rho (z+z')\right]}$

donde es la aceleración gravitacional, y se define como positiva. Hacemos una aproximación lineal a , y nos desplazamos al lado derecho: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho (z+z')-\rho (z)={\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}z'}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}={\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}z'}$

La ecuación diferencial de segundo orden anterior tiene la siguiente solución:

${\displaystyle z'=z'_{0}e^{iNt}\!}$

donde la frecuencia Brunt–Väisälä es: ^[1] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N={\sqrt {-{\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}}}}$

Para valores negativos , el desplazamiento tiene soluciones oscilantes (y N nos da nuestra frecuencia angular). Si es positivo, entonces hay crecimiento descontrolado, es decir, el fluido es estáticamente inestable. ${\displaystyle {\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}}$ ${\displaystyle z'}$

En meteorología y astrofísica

En el caso de una parcela de gas, la densidad solo permanecerá fija, como se supuso en la derivación anterior, si la presión, , es constante con la altura, lo que no es cierto en una atmósfera confinada por la gravedad. En cambio, la parcela se expandirá adiabáticamente a medida que la presión disminuya. Por lo tanto, una formulación más general utilizada en meteorología es: ${\displaystyle P}$

${\displaystyle N\equiv {\sqrt {{\frac {g}{\theta }}{\frac {d\theta }{dz}}}}}$, donde es la temperatura potencial , es la aceleración local de la gravedad y es la altura geométrica . ^[2] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle z}$

Como , donde es una presión de referencia constante, para un gas perfecto esta expresión es equivalente a: ${\displaystyle \theta =T(P_{0}/P)^{R/c_{P}}}$ ${\displaystyle P_{0}}$

${\displaystyle N^{2}\equiv g\left\{{\frac {1}{T}}{\frac {dT}{dz}}-{\frac {R}{c_{P}}}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}\right\}=g\left\{{\frac {1}{T}}{\frac {dT}{dz}}-{\frac {\gamma -1}{\gamma }}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}\right\}}$,

donde en la última forma , el índice adiabático . Utilizando la ley de los gases ideales , podemos eliminar la temperatura para expresar en términos de presión y densidad: ${\displaystyle \gamma =c_{P}/c_{V}}$ ${\displaystyle N^{2}}$

${\displaystyle N^{2}\equiv g\left\{{\frac {1}{\gamma }}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dz}}\right\}=g\left\{{\frac {1}{\gamma }}{\frac {d\ln P}{dz}}-{\frac {d\ln \rho }{dz}}\right\}}$.

Esta versión es de hecho más general que la primera, ya que se aplica cuando la composición química del gas varía con la altura, y también para gases imperfectos con índice adiabático variable, en cuyo caso , es decir, la derivada se toma a entropía constante , . ^[3] ${\displaystyle \gamma \equiv \gamma _{01}=(\partial \ln P/\partial \ln \rho )_{S}}$ ${\displaystyle S}$

Si una parcela de gas se empuja hacia arriba y , la parcela de aire se moverá hacia arriba y hacia abajo alrededor de la altura donde la densidad de la parcela coincide con la densidad del aire circundante. Si la parcela de aire se empuja hacia arriba y , la parcela de aire no se moverá más. Si la parcela de aire se empuja hacia arriba y , (es decir, la frecuencia de Brunt-Väisälä es imaginaria), entonces la parcela de aire se elevará y elevará a menos que se vuelva positiva o cero nuevamente más arriba en la atmósfera. En la práctica, esto conduce a la convección y, por lo tanto, el criterio de Schwarzschild para la estabilidad contra la convección (o el criterio de Ledoux si hay estratificación compositiva) es equivalente a la afirmación de que debería ser positiva. ${\displaystyle N^{2}>0}$ ${\displaystyle N^{2}=0}$ ${\displaystyle N^{2}<0}$ ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle N^{2}}$

La frecuencia Brunt–Väisälä aparece comúnmente en las ecuaciones termodinámicas de la atmósfera y en la estructura de las estrellas.

Trayectoria de una parcela de fluido desplazada 1 m en un fluido estratificado inestable de frecuencia Brunt-Väisälä N² = -1 /s²

Oscilaciones de una parcela de fluido inicialmente desplazada 1m en un fluido estratificado estable con frecuencia Brunt-Väisälä N=1/s.

En oceanografía

En el océano, donde la salinidad es importante, o en lagos de agua dulce cerca del punto de congelación, donde la densidad no es una función lineal de la temperatura: donde , la densidad potencial , depende tanto de la temperatura como de la salinidad. Un ejemplo de oscilación de Brunt–Väisälä en un líquido estratificado por densidad se puede observar en la película 'Magic Cork' aquí. $${\displaystyle N\equiv {\sqrt {-{g \over {\rho }}{d\rho \over {dz}}}}}$$ ${\displaystyle \rho }$

Contexto

El concepto deriva de la Segunda Ley de Newton cuando se aplica a una parcela de fluido en presencia de una estratificación de fondo (en la que la densidad cambia en la vertical, es decir, se puede decir que la densidad tiene múltiples capas verticales). La parcela, perturbada verticalmente desde su posición inicial, experimenta una aceleración vertical. Si la aceleración regresa a la posición inicial, se dice que la estratificación es estable y la parcela oscila verticalmente. En este caso, N ² > 0 y la frecuencia angular de oscilación se da N . Si la aceleración se aleja de la posición inicial ( N ² < 0 ), la estratificación es inestable. En este caso, generalmente se produce vuelco o convección.

La frecuencia Brunt–Väisälä se relaciona con las ondas de gravedad internas : es la frecuencia cuando las ondas se propagan horizontalmente y proporciona una descripción útil de la estabilidad atmosférica y oceánica.

Véase también

• Flotabilidad
• Célula de Bénard

Referencias

1. Vallis, Geoffrey K. (2017). Dinámica de fluidos atmosféricos y oceánicos: fundamentos y circulación a gran escala (2.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press . Bibcode :2017aofd.book.....V. doi :10.1017/9781107588417. ISBN 9781107588417. OCLC  990033511. S2CID  115699889.
2. Emmanuel, KA (1994). Convección atmosférica . Oxford University Press. doi :10.1002/joc.3370150709. ISBN. 0195066308.
3. Christensen-Dalsgaard, Jørgen (2014), Apuntes de conferencias sobre oscilaciones estelares (PDF) (5ª ed.)