Cuatro tensores

Abreviatura en los campos de la relatividad especial y general

En física , específicamente para la relatividad especial y la relatividad general , un cuatritensor es una abreviatura de un tensor en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones . ^[1]

Generalidades

Los cuatro tensores generales se escriben generalmente en notación de índice tensorial como

${\displaystyle A_{\;\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{m}}^{\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{n}}}$

con índices que toman valores enteros de 0 a 3, siendo 0 para los componentes temporales y 1, 2, 3 para los espaciales. Hay n índices contravariantes y m índices covariantes . ^[1]

En relatividad especial y general, muchos tensores de cuatro dimensiones de interés son de primer orden ( cuatro vectores ) o de segundo orden, pero también existen tensores de orden superior. A continuación se enumeran algunos ejemplos.

En la relatividad especial, la base vectorial puede restringirse a ser ortonormal, en cuyo caso todos los cuatro tensores se transforman bajo transformaciones de Lorentz . En la relatividad general, son necesarias transformaciones de coordenadas más generales, ya que tal restricción no es posible en general.

Ejemplos

Tensores de primer orden

En relatividad especial, uno de los ejemplos no triviales más simples de un tensor de cuatro es el desplazamiento de cuatro.

${\displaystyle x^{\mu }=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)}$

un cuatritensor con rango contravariante 1 y rango covariante 0. Los cuatritensores de este tipo se conocen habitualmente como cuatrivectores . Aquí el componente x ⁰ = ct da el desplazamiento de un cuerpo en el tiempo (el tiempo de coordenadas t se multiplica por la velocidad de la luz c de modo que x ⁰ tiene dimensiones de longitud). Los componentes restantes del cuatritensor forman el vector de desplazamiento espacial x = ( x ¹ , x ² , x ³ ). ^[1]

El momento cuatrienal para partículas masivas o sin masa es

${\displaystyle p^{\mu }=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {1}{c}}E,p_{x},p_{y},p_{z}\right)}$

combinando su energía (dividida por c ) p ⁰ = E / c y 3- momento p = ( p ¹ , p ² , p ³ ). ^[1]

Para una partícula con masa invariante , también conocida como masa en reposo , el momento cuatro se define como ${\displaystyle m_{0}}$

${\displaystyle p^{\mu }=m_{0}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$

con el tiempo propio de la partícula. ${\displaystyle \tau }$

La masa relativista está con el factor de Lorentz. ${\displaystyle m=\gamma m_{o}}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}$

Tensores de segundo orden

El tensor métrico de Minkowski con una base ortonormal para la convención (−+++) es

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\,}$

Se utiliza para calcular el elemento de línea y los índices de elevación y descenso . Lo anterior se aplica a las coordenadas cartesianas. En la relatividad general, el tensor métrico se da mediante expresiones mucho más generales para las coordenadas curvilíneas.

El momento angular L = x ∧ p de una partícula con masa relativista m y momento relativista p (medido por un observador en un marco de laboratorio ) se combina con otra cantidad vectorial N = m x − p t (sin un nombre estándar) en el tensor de momento angular relativista ^{[2] [3]}

${\displaystyle M^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{pmatrix}}}$

con componentes

${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}$

El tensor de tensión-energía de un continuo o campo generalmente toma la forma de un tensor de segundo orden, y usualmente se denota por T . El componente temporal corresponde a la densidad de energía (energía por unidad de volumen), los componentes mixtos del espacio-tiempo a la densidad de momento (momento por unidad de volumen) y las partes puramente espaciales al tensor de tensión 3d.

El tensor de campo electromagnético combina el campo eléctrico E y el campo magnético B ^[4]

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

El tensor de desplazamiento electromagnético combina el campo de desplazamiento eléctrico D y la intensidad del campo magnético H de la siguiente manera ^[5]

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

El tensor de magnetización - polarización combina los campos P y M ^[4]

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$

Los tres tensores de campo están relacionados por

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,}$

lo que es equivalente a las definiciones de los campos D y H.

El momento dipolar eléctrico d y el momento dipolar magnético μ de una partícula se unifican en un único tensor ^[6]

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&d_{x}&d_{y}&d_{z}\\-d_{x}&0&\mu _{z}/c&-\mu _{y}/c\\-d_{y}&-\mu _{z}/c&0&\mu _{x}/c\\-d_{z}&\mu _{y}/c&-\mu _{x}/c&0\end{pmatrix}},}$

El tensor de curvatura de Ricci es otro tensor de segundo orden.

Tensores de orden superior

En relatividad general, hay tensores de curvatura que tienden a ser de orden superior, como el tensor de curvatura de Riemann y el tensor de curvatura de Weyl , que son ambos tensores de cuarto orden.

Véase también

• Tensor de espín
• Tétrada (relatividad general)

Referencias

1. Lambourne, Robert J A. Relatividad, gravitación y cosmología. Cambridge University Press. 2010.
2. R. Penrose (2005). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. Págs. 437-438, 566-569. ISBN. 978-0-09-944068-0.Nota: Algunos autores, incluido Penrose, utilizan letras latinas en esta definición, aunque es convencional utilizar índices griegos para vectores y tensores en el espacio-tiempo.
3. M. Fayngold (2008). Relatividad especial y cómo funciona. John Wiley & Sons . Págs. 137-139. ISBN. 978-3-527-40607-4.
4. Vanderlinde, Jack (2004), teoría electromagnética clásica, Springer, págs. 313–328, ISBN 9781402026997
5. Barut, AO (enero de 1980). Electrodinámica y teoría clásica de partículas y campos . Dover. pág. 96. ISBN. 978-0-486-64038-9.
6. Barut, AO (enero de 1980). Electrodinámica y teoría clásica de partículas y campos . Dover. pág. 73. ISBN 978-0-486-64038-9.En este libro no aparece ningún factor de c en el tensor porque existen diferentes convenciones para el tensor del campo EM.