Flujo de Couette

Modelo de flujo de fluido viscoso entre dos superficies que se mueven una respecto de la otra

En dinámica de fluidos , el flujo de Couette es el flujo de un fluido viscoso en el espacio entre dos superficies, una de las cuales se mueve tangencialmente con respecto a la otra. El movimiento relativo de las superficies impone una tensión de corte en el fluido e induce el flujo. Según la definición del término, también puede haber un gradiente de presión aplicado en la dirección del flujo.

La configuración de Couette modela ciertos problemas prácticos, como el manto y la atmósfera de la Tierra , ^{[1] y el flujo en} cojinetes de fricción ligeramente cargados . También se emplea en viscosimetría y para demostrar aproximaciones de reversibilidad . ^{[2] [3]}

Debe su nombre a Maurice Couette , profesor de Física en la Universidad francesa de Angers a finales del siglo XIX.

Flujo Couette Planar

Configuración simple de Couette utilizando dos placas planas infinitas.

El flujo de Couette se utiliza con frecuencia en los cursos de física e ingeniería de grado para ilustrar el movimiento de fluidos impulsado por cizallamiento . Una configuración simple corresponde a dos placas infinitas y paralelas separadas por una distancia ; una placa se traslada con una velocidad relativa constante en su propio plano. Si se descuidan los gradientes de presión, las ecuaciones de Navier-Stokes se simplifican a ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=0,}$

donde es la coordenada espacial normal a las placas y es el campo de velocidad. Esta ecuación refleja el supuesto de que el flujo es unidireccional , es decir, solo uno de los tres componentes de velocidad no es trivial. Si la placa inferior corresponde a , las condiciones de contorno son y . La solución exacta ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle (u,v,w)}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle u(0)=0}$ ${\displaystyle u(h)=U}$

${\displaystyle u(y)=U{\frac {y}{h}}}$

se puede encontrar integrando dos veces y resolviendo las constantes usando las condiciones de contorno. Un aspecto notable del flujo es que la tensión de corte es constante en todo el dominio. En particular, la primera derivada de la velocidad, , es constante. Según la Ley de viscosidad de Newton ( fluido newtoniano ), la tensión de corte es el producto de esta expresión y la viscosidad (constante) del fluido . ${\displaystyle U/h}$

Puesta en marcha

Flujo de Couette de puesta en marcha

En realidad, la solución de Couette no se alcanza instantáneamente. El "problema de arranque" que describe el enfoque hacia el estado estacionario viene dado por

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

sujeto a la condición inicial

${\displaystyle u(y,0)=0,\quad 0<y<h,}$

y con las mismas condiciones de contorno que el flujo constante:

${\displaystyle u(0,t)=0,\quad u(h,t)=U,\quad t>0.}$

El problema se puede homogeneizar restando la solución estacionaria. Luego, aplicando la separación de variables se llega a la solución: ^[4]

${\displaystyle u(y,t)=U{\frac {y}{h}}-{\frac {2U}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-n^{2}\pi ^{2}{\frac {\nu t}{h^{2}}}}\sin \left[n\pi \left(1-{\frac {y}{h}}\right)\right]}$.

La escala de tiempo que describe la relajación hasta el estado estacionario es , como se ilustra en la figura. El tiempo necesario para alcanzar el estado estacionario depende únicamente del espaciamiento entre las placas y de la viscosidad cinemática del fluido, pero no de . ${\displaystyle t\sim h^{2}/\nu }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U}$

Flujo plano con gradiente de presión

Un flujo de Couette más general incluye un gradiente de presión constante en una dirección paralela a las placas. Las ecuaciones de Navier-Stokes son ${\displaystyle G=-dp/dx=\mathrm {constant} }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }},}$

donde es la viscosidad dinámica . Integrando la ecuación anterior dos veces y aplicando las condiciones de contorno (las mismas que en el caso del flujo de Couette sin gradiente de presión) se obtiene ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle u(y)={\frac {G}{2\mu }}y\,(h-y)+U{\frac {y}{h}}.}$

El gradiente de presión puede ser positivo (gradiente de presión adverso) o negativo (gradiente de presión favorable). En el caso límite de placas estacionarias ( ), el flujo se denomina flujo de Poiseuille plano y tiene un perfil de velocidad parabólico simétrico (con referencia al plano medio horizontal). ^[5] ${\displaystyle U=0}$

Flujo compresible

Flujo Couette compresible para ${\displaystyle \mathrm {M} =0}$

Flujo Couette compresible para ${\displaystyle \mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} =7.5}$

En un flujo incompresible, el perfil de velocidad es lineal porque la temperatura del fluido es constante. Cuando las paredes superior e inferior se mantienen a diferentes temperaturas, el perfil de velocidad es más complicado. Sin embargo, tiene una solución implícita exacta, como lo demostró CR Illingworth en 1950. ^[6]

Consideremos el flujo plano de Couette con la pared inferior en reposo y la pared superior en movimiento con velocidad constante . Denotemos las propiedades del fluido en la pared inferior con un subíndice y las propiedades en la pared superior con un subíndice . Las propiedades y la presión en la pared superior se prescriben y se toman como cantidades de referencia. Sea la distancia entre las dos paredes. Las condiciones de contorno son ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle u=0,\ v=0,\ h=h_{w}=c_{pw}T_{w}\ {\text{at}}\ y=0,}$

${\displaystyle u=U,\ v=0,\ h=h_{\infty }=c_{p\infty }T_{\infty },\ p=p_{\infty }\ {\text{at}}\ y=l}$

donde es la entalpía específica y es el calor específico . La conservación de la masa y el momento requiere en todas partes en el dominio del flujo. La conservación de la energía y el momento se reducen a ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle v=0,\ p=p_{\infty }}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\mu {\frac {du}{dy}}\right)=0,\quad \Rightarrow \quad {\frac {d\tau }{dy}}=0,\quad \Rightarrow \quad \tau =\tau _{w}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Pr} }}{\frac {d}{dy}}\left(\mu {\frac {dh}{dy}}\right)+\mu \left({\frac {du}{dy}}\right)^{2}=0.}$

donde es la tensión cortante de la pared. El flujo no depende del número de Reynolds , sino del número de Prandtl y del número de Mach , donde es la conductividad térmica , es la velocidad del sonido y es la relación de calor específico . Introduzca las variables adimensionales ${\displaystyle \tau =\tau _{w}={\text{constant}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} =Ul/\nu _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathrm {Pr} =\mu _{\infty }c_{p\infty }/\kappa _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathrm {M} =U/c_{\infty }=U/{\sqrt {(\gamma -1)h_{\infty }}}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\tilde {y}}={\frac {y}{l}},\quad {\tilde {T}}={\frac {T}{T_{\infty }}},\quad {\tilde {T}}_{w}={\frac {T_{w}}{T_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}={\frac {h}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}_{w}={\frac {h_{w}}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {u}}={\frac {u}{U}},\quad {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu _{\infty }}},\quad {\tilde {\tau }}_{w}={\frac {\tau _{w}}{\mu _{\infty }U/l}}}$

En términos de estas cantidades, las soluciones son

${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {h}}_{w}+\left[{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} +(1-{\tilde {h}}_{w})\right]{\tilde {u}}-{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} \,{\tilde {u}}^{2},}$

${\displaystyle {\tilde {y}}={\frac {1}{{\tilde {\tau }}_{w}}}\int _{0}^{\tilde {u}}{\tilde {\mu }}\,d{\tilde {u}},\quad {\tilde {\tau }}_{w}=\int _{0}^{1}{\tilde {\mu }}\,d{\tilde {u}},\quad q_{w}=-{\frac {1}{\mathrm {Pr} }}\tau _{w}\left({\frac {dh}{du}}\right)_{w},}$

donde es el calor transferido por unidad de tiempo por unidad de área desde la pared inferior. Por lo tanto , son funciones implícitas de . También se puede escribir la solución en términos de la temperatura de recuperación y la entalpía de recuperación evaluadas a la temperatura de una pared aislada, es decir, los valores de y para los cuales . ^{[ aclaración necesaria ]} Entonces la solución es ${\displaystyle q_{w}}$ ${\displaystyle {\tilde {h}},{\tilde {T}},{\tilde {u}},{\tilde {\mu }}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle T_{r}}$ ${\displaystyle h_{r}}$ ${\displaystyle T_{w}}$ ${\displaystyle h_{w}}$ ${\displaystyle q_{w}=0}$

${\displaystyle {\frac {q_{w}}{\tau _{w}U}}={\frac {{\tilde {T}}_{w}-{\tilde {T}}_{r}}{(\gamma -1)\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} }},\quad {\tilde {T}}_{r}=1+{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} ,}$

${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {h}}_{w}+({\tilde {h}}_{r}-{\tilde {h}}_{w}){\tilde {u}}-{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} \,{\tilde {u}}^{2}.}$

Si el calor específico es constante, entonces . Cuando y , entonces y son constantes en todas partes, recuperando así la solución de flujo de Couette incompresible. De lo contrario, se debe conocer la dependencia total de la temperatura de . Si bien no existe una expresión simple para que sea precisa y general, existen varias aproximaciones para ciertos materiales; consulte, por ejemplo, la dependencia de la temperatura de la viscosidad . Cuando y , las cantidades de recuperación se convierten en la unidad . Para el aire, los valores se usan comúnmente y los resultados para este caso se muestran en la figura. ${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {T}}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} \rightarrow 0}$ ${\displaystyle T_{w}=T_{\infty },\Rightarrow q_{w}=0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})}$ ${\displaystyle {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})}$ ${\displaystyle \mathrm {M} \rightarrow 0}$ ${\displaystyle q_{w}\neq 0}$ ${\displaystyle {\tilde {T}}_{r}=1}$ ${\displaystyle \gamma =1.4,\ {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})={\tilde {T}}^{2/3}}$

También se han estudiado los efectos de la disociación y la ionización (es decir, no es constante); en ese caso la temperatura de recuperación se reduce por la disociación de las moléculas. ^[7] ${\displaystyle c_{p}}$

Canal rectangular

Caudal Couette para canal cuadrado

Flujo de Couette con h/l=0,1

El flujo unidimensional es válido cuando ambas placas tienen una longitud infinita en las direcciones de la corriente ( ) y de la envergadura ( ). Cuando la longitud de la envergadura es finita, el flujo se vuelve bidimensional y es una función tanto de y . Sin embargo, la longitud infinita en la dirección de la corriente debe conservarse para garantizar la naturaleza unidireccional del flujo. ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Como ejemplo, considere un canal rectangular infinitamente largo con altura transversal y ancho transversal , sujeto a la condición de que la pared superior se mueva con una velocidad constante . Sin un gradiente de presión impuesto, las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0}$

con condiciones de contorno

${\displaystyle u(0,z)=0,\quad u(h,z)=U,}$

${\displaystyle u(y,0)=0,\quad u(y,l)=0.}$

Usando separación de variables , la solución viene dada por

${\displaystyle u(y,z)={\frac {4U}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}{\frac {\sinh(\beta _{n}y)}{\sinh(\beta _{n}h)}}\sin(\beta _{n}z),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{l}}.}$

Cuando se recupera el flujo planar de Couette, como se muestra en la figura. ${\displaystyle h/l\ll 1}$

Cilindros coaxiales

El flujo de Taylor-Couette es un flujo entre dos cilindros coaxiales giratorios de longitud infinita. ^[8] El problema original fue resuelto por Stokes en 1845, ^[9] pero el nombre de Geoffrey Ingram Taylor se adjuntó al flujo porque estudió su estabilidad en un famoso artículo de 1923. ^[10]

El problema se puede resolver en coordenadas cilíndricas . Denotemos los radios de los cilindros interior y exterior como y . Suponiendo que los cilindros giran a velocidades angulares constantes y , entonces la velocidad en la dirección es ^[11] ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle v_{\theta }(r)=ar+{\frac {b}{r}},\qquad a={\frac {\Omega _{2}R_{2}^{2}-\Omega _{1}R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}},\quad b={\frac {(\Omega _{1}-\Omega _{2})R_{1}^{2}R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}}.}$

Esta ecuación muestra que los efectos de la curvatura ya no permiten un esfuerzo cortante constante en el dominio del flujo.

Cilindros coaxiales de longitud finita

El problema clásico de flujo de Taylor-Couette supone cilindros infinitamente largos; si los cilindros tienen una longitud finita no despreciable , entonces el análisis debe modificarse (aunque el flujo sigue siendo unidireccional). Para , el problema de longitud finita se puede resolver utilizando separación de variables o transformadas integrales , dando: ^[12] ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \Omega _{2}=0}$

${\displaystyle v_{\theta }(r,z)={\frac {4R_{1}\Omega _{1}}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}{\frac {I_{1}(\beta _{n}R_{2})K_{1}(\beta _{n}r)-K_{1}(\beta _{n}R_{2})I_{1}(\beta _{n}r)}{I_{1}(\beta _{n}R_{2})K_{1}(\beta _{n}R_{1})-K_{1}(\beta _{n}R_{2})I_{1}(\beta _{n}R_{1})}}\sin(\beta _{n}z),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{l}},}$

¿Dónde están las funciones de Bessel modificadas de primer y segundo tipo? ${\displaystyle I(\beta _{n}r),\ K(\beta _{n}r)}$

Véase también

• Flujo laminar
• Flujo de Stokes-Couette
• Ecuación de Hagen-Poiseuille
• Flujo de Taylor-Couette
• Flujo de Hagen-Poiseuille a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes

Referencias

1. Zhilenko y otros (2018)
2. Guyon y otros (2001), pág. 136
3. Infierno (1960)
4. Pozrikidis (2011), págs. 338-339
5. Kundu y otros (2016), pág. 415
6. Lagerström (1996)
7. Liepmann y col. (1956, 1957)
8. Landau y Lifshitz (1987)
9. Stokes (1845)
10. Taylor (1923)
11. Guyon y col. (2001), págs. 163-166
12. Wendl (1999)

Fuentes

• Acheson, DJ (1990). Dinámica de fluidos elemental . Oxford University Press. ISBN 0-19-859679-0.
• Batchelor, GK (2000) [1967]. Introducción a la dinámica de fluidos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.
• Guyon, Etienne; Hulin, Jean-Pierre; Petit, Luc; Mitescu, Catalin D. (2001). Hidrodinámica física . Oxford University Press. ISBN 0-19-851746-7.
• Heller, John P. (1960). "Una demostración de desmezcla". American Journal of Physics . 28 (4): 348–353. Bibcode :1960AmJPh..28..348H. doi :10.1119/1.1935802. ISSN  0002-9505.
• Illingworth, CR (1950). "Algunas soluciones de las ecuaciones de flujo de un fluido viscoso compresible". Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 46 (3): 469–478. Bibcode :1950PCPS...46..469I. doi :10.1017/S0305004100025986. ISSN  0305-0041. S2CID  122559614.
• Kundu, Pijush K.; Cohen, Ira M.; Dowling, David R. (2016). Mecánica de fluidos (6.ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-12-405935-1.
• Lagerstrom, Paco (1996). Teoría del flujo laminar. Princeton University Press. ISBN 978-0691025988.
• Landau, LD; Lifshitz, EM (1987). Mecánica de fluidos (2.ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-08-057073-0.
• Liepmann, HW y ZO Bleviss. "Los efectos de la disociación y la ionización en el flujo compresible de Couette". Douglas Aircraft Co. Rept. SM-19831 130 (1956).
• Liepmann, Hans Wolfgang y Anatol Roshko . Elementos de dinámica de gases. Courier Corporation, 1957.
• Pozrikidis, C. (2011). Introducción a la dinámica de fluidos teórica y computacional . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-975207-2.
• Richard Feynman (1964) Las conferencias Feynman sobre física: principalmente electromagnetismo y materia , § 41-6 Flujo de Couette, Addison–Wesley ISBN 0-201-02117-X 
• Stokes, George Gabriel (1880). "Sobre las teorías de la fricción interna de fluidos en movimiento y del equilibrio y movimiento de sólidos elásticos". Documentos matemáticos y físicos . Cambridge University Press: 75–129. doi :10.1017/CBO9780511702242.005. ISBN 9780511702242.
• Taylor, Geoffrey I. (1923). "Estabilidad de un líquido viscoso contenido entre dos cilindros giratorios". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico. 223 (605–615): 289–343. Bibcode :1923RSPTA.223..289T. doi : 10.1098/rsta.1923.0008 . JSTOR  91148.
• Wendl, Michael C. (1999). "Solución general para el perfil de flujo de Couette". Physical Review E . 60 (5): 6192–6194. Bibcode :1999PhRvE..60.6192W. doi :10.1103/PhysRevE.60.6192. ISSN  1063-651X. PMID  11970531.
• Zhilenko, Dmitry; Krivonosova, Olga; Gritsevich, Maria; Read, Peter (2018). "Selección del número de onda en presencia de ruido: resultados experimentales". Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science . 28 (5): 053110. Bibcode :2018Chaos..28e3110Z. doi :10.1063/1.5011349. hdl : 10138/240787 . ISSN  1054-1500. PMID  29857673. S2CID  46925417.

Enlaces externos

• Glosario AMS: flujo de Couette
• La perspectiva de un reólogo: la ciencia detrás del accesorio de celda Couette