Número de Froude

Número adimensional; relación entre la inercia del flujo de un fluido y el campo externo

En mecánica de medios continuos , el número de Froude (Fr, en honor a William Froude, /ˈfruːd/ [ 1 ] ) es un número adimensional definido como la ^relación entre la inercia del flujo y el campo de fuerza externo ( este último , en muchas aplicaciones, simplemente debido a la gravedad ). El número de Froude se basa en la relación velocidad-longitud que definió como: ^{[2] [3]} donde u es la velocidad de flujo local (en m/s), g es el campo de gravedad local (en m/s ² ) y L es una longitud característica (en m). $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {gL}}}}$$

El número de Froude tiene cierta analogía con el número de Mach . En dinámica de fluidos teórica , el número de Froude no se considera con frecuencia ya que, por lo general, las ecuaciones se consideran en el límite alto de Froude de campo externo despreciable, lo que conduce a ecuaciones homogéneas que preservan los aspectos matemáticos. Por ejemplo, las ecuaciones de Euler homogéneas son ecuaciones de conservación . Sin embargo, en arquitectura naval , el número de Froude es una cifra significativa que se utiliza para determinar la resistencia de un objeto parcialmente sumergido que se mueve a través del agua.

Orígenes

En flujos en canales abiertos , Bélanger (1828) introdujo por primera vez la relación entre la velocidad del flujo y la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad multiplicada por la profundidad del flujo. Cuando la relación era menor que la unidad, el flujo se comportaba como un movimiento fluvial (es decir, flujo subcrítico) y como un movimiento de flujo torrencial cuando la relación era mayor que la unidad. ^[4]

Los cascos del cisne (arriba) y del cuervo (abajo). Froude construyó una secuencia de modelos a escala de 3, 6 y 12 pies (mostrados en la imagen) y los utilizó en pruebas de remolque para establecer leyes de resistencia y escala.

La cuantificación de la resistencia de los objetos flotantes se atribuye generalmente a William Froude , quien utilizó una serie de modelos a escala para medir la resistencia que ofrecía cada modelo cuando se remolcaba a una velocidad determinada. El constructor naval Frederic Reech había propuesto el concepto mucho antes, en 1852, para probar barcos y hélices, pero Froude no lo conocía. ^[5] La relación velocidad-longitud fue definida originalmente por Froude en su Ley de comparación en 1868 en términos dimensionales como:

$${\displaystyle {\text{speed–length ratio}}={\frac {u}{\sqrt {\text{LWL}}}}}$$dónde:

• u = velocidad de flujo
• LWL = longitud de la línea de flotación

El término se convirtió en términos adimensionales y recibió el nombre de Froude en reconocimiento al trabajo que realizó. En Francia, a veces se lo llama número de Reech-Froude en honor a Frederic Reech. ^[6]

Definición y aplicación principal

Para mostrar cómo el número de Froude está vinculado a la mecánica general del medio continuo y no sólo a la hidrodinámica, partimos de la ecuación de momento de Cauchy en su forma adimensional (no dimensional).

Ecuación de Cauchy del momento

Para que las ecuaciones sean adimensionales, es necesario definir una longitud característica r ₀ y una velocidad característica u _{0 . Estas deben elegirse de modo que las variables adimensionales sean todas de orden uno. De este modo, se obtienen las siguientes variables adimensionales:} $${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$$

Sustitución de estas relaciones inversas en las ecuaciones de momento de Euler, y definición del número de Froude: y del número de Euler : las ecuaciones quedan finalmente expresadas (con la derivada material y omitiendo ahora los índices): $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},}$$ $${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

Ecuación de momento de Cauchy ( forma convectiva adimensional )

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g} }$$

Las ecuaciones de tipo Cauchy en el límite alto de Froude Fr → ∞ (que corresponde a un campo externo despreciable) se denominan ecuaciones libres . Por otra parte, en el límite bajo de Euler Eu → 0 (que corresponde a una tensión despreciable) la ecuación general de Cauchy del momento se convierte en una ecuación de Burgers no homogénea (aquí hacemos explícita la derivada material ):

Ecuación de Burgers ( forma de conservación adimensional )

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \right)={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g} }$$

Esta es una ecuación de advección pura no homogénea , así como la ecuación de Stokes es una ecuación de difusión pura .

Ecuación del momento de Euler

La ecuación del momento de Euler es una ecuación del momento de Cauchy con la ley de Pascal como relación constitutiva del estrés: en forma lagrangiana adimensional es: $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} }$$ $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

Las ecuaciones de Euler libres son conservativas. El límite de los números de Froude altos (campo externo bajo) es, por lo tanto, notable y puede estudiarse con la teoría de perturbaciones .

Ecuación de momento incompresible de Navier-Stokes

La ecuación de momento incompresible de Navier-Stokes es una ecuación de momento de Cauchy con la ley de Pascal y la ley de Stokes como relaciones constitutivas de tensión: en forma convectiva adimensional es: ^[7] donde Re es el número de Reynolds . Las ecuaciones de Navier-Stokes libres son disipativas (no conservativas). $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

Otras aplicaciones

Hidrodinámica de los barcos

Patrón de onda versus velocidad, ilustrando varios números de Froude.

En aplicaciones hidrodinámicas marinas, el número de Froude se suele referenciar con la notación Fn y se define como: ^[8] donde u es la velocidad relativa del flujo entre el mar y el barco, g es en particular la aceleración debida a la gravedad y L es la longitud del barco al nivel de la línea de flotación, o L _wl en algunas notaciones. Es un parámetro importante con respecto a la resistencia o arrastre del barco, especialmente en términos de resistencia a la formación de olas . $${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},}$$

En el caso de embarcaciones planeadoras, donde la longitud de la línea de flotación depende demasiado de la velocidad para ser significativa, el número de Froude se define mejor como el número de Froude de desplazamiento y la longitud de referencia se toma como la raíz cúbica del desplazamiento volumétrico del casco: $${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}.}$$

Ondas en aguas poco profundas

Para las olas en aguas poco profundas, como los tsunamis y los saltos hidráulicos , la velocidad característica U es la velocidad media del flujo, promediada sobre la sección transversal perpendicular a la dirección del flujo. La velocidad de la ola, denominada celeridad c , es igual a la raíz cuadrada de la aceleración gravitacional g , multiplicada por el área de la sección transversal A , dividida por el ancho de la superficie libre B : por lo que el número de Froude en aguas poco profundas es: Para secciones transversales rectangulares con profundidad uniforme d , el número de Froude se puede simplificar a: Para Fr < 1 , el flujo se denomina flujo subcrítico ; además, para Fr > 1, el flujo se caracteriza como flujo supercrítico . Cuando Fr ≈ 1, el flujo se denomina flujo crítico . $${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},}$$ $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}.}$$ $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.}$$

Ingeniería eólica

Al considerar los efectos del viento en estructuras sensibles a la dinámica, como los puentes colgantes, a veces es necesario simular el efecto combinado de la masa vibrante de la estructura con la fuerza fluctuante del viento. En tales casos, se debe respetar el número de Froude. De manera similar, al simular columnas de humo caliente combinadas con viento natural, es necesario aplicar el número de Froude para mantener el equilibrio correcto entre las fuerzas de flotabilidad y el impulso del viento.

Alometría

El número de Froude también se ha aplicado en alometría para estudiar la locomoción de animales terrestres, ^[9] incluidos los antílopes ^[10] y los dinosaurios. ^[11]

Número de Froude extendido

Los flujos de masa geofísicos, como avalanchas y flujos de escombros, se producen en pendientes inclinadas que luego se fusionan en zonas de deslizamiento suaves y planas. ^[12]

Por lo tanto, estos flujos están asociados con la elevación de las pendientes topográficas que inducen la energía potencial de gravedad junto con la energía potencial de presión durante el flujo. Por lo tanto, el número de Froude clásico debe incluir este efecto adicional. Para tal situación, el número de Froude debe redefinirse. El número de Froude extendido se define como la relación entre la energía cinética y la energía potencial: donde u es la velocidad media del flujo, β = gK cos ζ , ( K es el coeficiente de presión de la tierra , ζ es la pendiente), s _g = g sen ζ , x es la posición de la pendiente descendente del canal y es la distancia desde el punto de liberación de masa a lo largo del canal hasta el punto donde el flujo golpea el datum de referencia horizontal; E $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}}},}$$ ${\displaystyle x_{d}}$_olla ^p
= βh y E_olla ^g
= s _g ( x _d − x ) son las energías potencial de presión y potencial de gravedad, respectivamente. En la definición clásica del número de Froude de flujo granular o de aguas someras, la energía potencial asociada con la elevación de la superficie, E_olla ^g
, no se considera. El número de Froude extendido difiere sustancialmente del número de Froude clásico para elevaciones de superficie más altas. El término βh surge del cambio de la geometría de la masa en movimiento a lo largo de la pendiente. El análisis dimensional sugiere que para flujos poco profundos βh ≪ 1 , mientras que u y s _g ( x _d − x ) son ambos de orden uno. Si la masa es poco profunda con una superficie libre prácticamente paralela al lecho, entonces βh puede ignorarse. En esta situación, si no se tiene en cuenta el potencial de gravedad, entonces Fr es ilimitado aunque la energía cinética esté limitada. Por lo tanto, considerando formalmente la contribución adicional debido a la energía potencial gravitatoria, se elimina la singularidad en Fr.

Tanques agitados

En el estudio de los tanques agitados, el número de Froude rige la formación de vórtices superficiales. Dado que la velocidad de la punta del impulsor es ωr ( movimiento circular ), donde ω es la frecuencia del impulsor (generalmente en rpm ) y r es el radio del impulsor (en ingeniería, el diámetro se emplea con mucha más frecuencia), el número de Froude toma la siguiente forma: El número de Froude también encuentra una aplicación similar en mezcladores de polvo. De hecho, se utilizará para determinar en qué régimen de mezcla está trabajando el mezclador. Si Fr<1, las partículas simplemente se agitan, pero si Fr>1, las fuerzas centrífugas aplicadas al polvo superan la gravedad y el lecho de partículas se fluidiza, al menos en alguna parte del mezclador, lo que promueve la mezcla ^[13]. $${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$$

Número de Froude densimétrico

Cuando se utiliza en el contexto de la aproximación de Boussinesq, el número de Froude densimétrico se define como donde g ′ es la gravedad reducida: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}}$$ $${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$$

El número de Froude densimétrico suele ser el preferido por los modeladores que desean no dimensionar una preferencia de velocidad en lugar del número de Richardson , que se encuentra con más frecuencia al considerar capas de cizallamiento estratificadas. Por ejemplo, el borde delantero de una corriente de gravedad se mueve con un número de Froude frontal de aproximadamente la unidad.

Número de Froude andando

El número de Froude puede utilizarse para estudiar las tendencias en los patrones de marcha de los animales. En los análisis de la dinámica de la locomoción con patas, una extremidad que camina se modela a menudo como un péndulo invertido , donde el centro de masa pasa por un arco circular centrado en el pie. ^[14] El número de Froude es la relación entre la fuerza centrípeta alrededor del centro de movimiento, el pie, y el peso del animal que camina: donde m es la masa, l es la longitud característica, g es la aceleración debida a la gravedad y v es la velocidad . La longitud característica l puede elegirse para adaptarse al estudio en cuestión. Por ejemplo, algunos estudios han utilizado la distancia vertical de la articulación de la cadera desde el suelo, ^[15] mientras que otros han utilizado la longitud total de la pierna. ^{[14] [16]} $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}$$

El número de Froude también se puede calcular a partir de la frecuencia de paso f de la siguiente manera: ^[15] $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}$$

Si se utiliza la longitud total de la pierna como la longitud característica, entonces la velocidad máxima teórica de la marcha tiene un número de Froude de 1,0, ya que cualquier valor más alto daría como resultado un despegue y que el pie no tocara el suelo. La velocidad de transición típica de la marcha bípeda a la carrera se produce con Fr ≈ 0,5 . ^[17] RM Alexander descubrió que los animales de diferentes tamaños y masas que se desplazan a diferentes velocidades, pero con el mismo número de Froude, exhiben sistemáticamente marchas similares. Este estudio descubrió que los animales suelen cambiar de un paso a una marcha de carrera simétrica (p. ej., un trote o un paso) alrededor de un número de Froude de 1,0. Se observó una preferencia por las marchas asimétricas (p. ej., un galope, un galope transversal, un galope rotatorio, un salto o un salto de pronación) en números de Froude entre 2,0 y 3,0. ^[15]

Uso

El número de Froude se utiliza para comparar la resistencia a la formación de ondas entre cuerpos de distintos tamaños y formas.

En el flujo de superficie libre, la naturaleza del flujo ( supercrítico o subcrítico) depende de si el número de Froude es mayor o menor que la unidad.

Se puede ver fácilmente la línea de flujo "crítico" en un fregadero de cocina o baño. Déjelo desenchufado y deje correr el grifo. Cerca del lugar donde el chorro de agua golpea el fregadero, el flujo es supercrítico. "Abraza" la superficie y se mueve rápidamente. En el borde exterior del patrón de flujo, el flujo es subcrítico. Este flujo es más espeso y se mueve más lentamente. El límite entre las dos áreas se llama "salto hidráulico". El salto comienza donde el flujo es justo crítico y el número de Froude es igual a 1.0.

El número de Froude se ha utilizado para estudiar las tendencias en la locomoción animal con el fin de comprender mejor por qué los animales utilizan diferentes patrones de marcha ^[15] , así como para formular hipótesis sobre los modos de marcha de las especies extintas. ^[16]

Además, el comportamiento del lecho de partículas se puede cuantificar mediante el número de Froude (Fr) para establecer la ventana operativa óptima. ^[18]

Véase también

• Velocidad de flujo  : campo vectorial que se utiliza para describir matemáticamente el movimiento de un continuo.
• Fuerza corporal  : Fuerza que actúa en todo el volumen de un cuerpo.
• Ecuación de Cauchy del momento
• Ecuación de Burgers  – Ecuación diferencial parcial
• Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)  : conjunto de ecuaciones hiperbólicas cuasilineales que rigen el flujo adiabático y no viscoso
• Número de Reynolds  : relación entre las fuerzas inerciales y viscosas que actúan sobre un líquido

Notas

1. Merriam Webster Online (para el hermano James Anthony Froude ) [1]
2. Shih 2009, pág. 7.
3. Blanco 1999, pág. 294.
4. Chanson 2009, págs. 159-163.
5. Normand 1888, págs. 257-261.
6. Chanson 2004, pág. xxvii.
7. Shih2009.
8. Newman 1977, pág. 28.
9. Alexander, R. McNeill (1 de octubre de 2013). "Capítulo 2. Soporte corporal, escalamiento y alometría". Morfología funcional de los vertebrados . Harvard University Press. págs. 26–37. doi :10.4159/harvard.9780674184404.c2. ISBN 978-0-674-18440-4.
10. Alexander, R. McN. (1977). "Alometría de las extremidades de los antílopes (Bovidae)". Revista de zoología . 183 (1): 125–146. doi :10.1111/j.1469-7998.1977.tb04177.x. ISSN  0952-8369.
11. Alexander, R. McNeill (1991). "Cómo corrían los dinosaurios". Scientific American . 264 (4): 130–137. Bibcode :1991SciAm.264d.130A. doi :10.1038/scientificamerican0491-130. ISSN  0036-8733. JSTOR  24936872.
12. Takahashi 2007, pág. 6.
13. "Mezcla de polvos - Diseño de mezcladores de polvos - Mezclador de cinta, Mezclador de paletas, Mezclador de tambor, Número de Froude". powderprocess.net . nd . Consultado el 31 de mayo de 2019 .
14. Vaughan y O'Malley 2005, págs. 350–362.
15. Alejandro 1984.
16. Sellers y Manning 2007.
17. Alejandro 1989.
18. Jikar, Dhokey y Shinde 2021.

Referencias

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Enlaces externos

• https://web.archive.org/web/20070927085042/http://www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf