Voltear (matemáticas)

Operación quirúrgica en un programa modelo mínimo.

En geometría algebraica , los flips y flops son operaciones quirúrgicas de codimensión 2 que surgen en el programa del modelo mínimo , dadas por la explosión a lo largo de un anillo canónico relativo . En la dimensión 3, los giros se utilizan para construir modelos mínimos, y dos modelos mínimos biracionalmente equivalentes cualesquiera están conectados mediante una secuencia de fracasos. Se conjetura que lo mismo ocurre en las dimensiones superiores.

El programa modelo mínimo

El programa del modelo mínimo se puede resumir muy brevemente de la siguiente manera: dada una variedad , construimos una secuencia de contracciones , cada una de las cuales contrae algunas curvas en las que el divisor canónico es negativo. Con el tiempo, debería convertirse en nef (al menos en el caso de la dimensión Kodaira no negativa ), que es el resultado deseado. El principal problema técnico es que, en algún momento, la variedad puede volverse "demasiado singular", en el sentido de que el divisor canónico ya no es un divisor Cartier , por lo que el número de intersección con una curva ni siquiera está definido. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=X_{1}\rightarrow X_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{n}}$ ${\displaystyle K_{X_{i}}}$ ${\displaystyle K_{X_{n}}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle K_{X_{i}}}$ ${\displaystyle K_{X_{i}}\cdot C}$ ${\displaystyle C}$

La solución (conjetural) a este problema es la inversión . Dada una problemática como la anterior, el cambio de es un mapa biracional (de hecho, un isomorfismo en la codimensión 1) a una variedad cuyas singularidades son "mejores" que las de . Así podemos poner y continuar el proceso. ^[1] ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle f\colon X_{i}\rightarrow X_{i}^{+}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i+1}=X_{i}^{+}}$

Dos problemas importantes relacionados con los lanzamientos son demostrar que existen y demostrar que no se puede tener una secuencia infinita de lanzamientos. Si ambos problemas pueden resolverse, entonces se podrá llevar a cabo el programa modelo mínimo. Mori (1988) demostró la existencia de saltos triples. La existencia de log flips, un tipo más general de flip, en las dimensiones tres y cuatro fue demostrada por Shokurov (1993, 2003), cuyo trabajo fue fundamental para la solución de la existencia de log flips y otros problemas en dimensiones superiores. La existencia de volteos de troncos en dimensiones superiores ha sido establecida por (Caucher Birkar, Paolo Cascini y Christopher D. Hacon et al. 2010). Por otro lado, el problema de la terminación (demostrar que no puede haber una secuencia infinita de lanzamientos) todavía está abierto en dimensiones mayores que 3.

Definición

Si es un morfismo y K es el paquete canónico de X , entonces el anillo canónico relativo de f es ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle \bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK))}$

y es un haz de álgebras graduadas sobre el haz de funciones regulares en Y . la explosión ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$

${\displaystyle f^{+}\colon X^{+}=\operatorname {Proj} {\big (}\bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK)){\big )}\to Y}$

de Y a lo largo del anillo canónico relativo es un morfismo de Y . Si el anillo canónico relativo se genera de forma finita (como un álgebra sobre ), entonces el morfismo se llama cambio de si es relativamente amplio y fracaso de si K es relativamente trivial. (A veces, el morfismo biracional inducido de a se denomina flip o flop). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}}$

En aplicaciones, suele haber una pequeña contracción de un rayo extremo, lo que implica varias propiedades adicionales: ${\displaystyle f}$

• Los conjuntos excepcionales de ambos mapas y tienen codimensión al menos 2, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{+}}$
• ${\displaystyle X}$y solo tienen singularidades leves, como singularidades terminales . ${\displaystyle X^{+}}$
• ${\displaystyle f}$y son morfismos biracionales en Y , que es normal y proyectivo. ${\displaystyle f^{+}}$
• Todas las curvas en las fibras de y son numéricamente proporcionales. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{+}}$

Ejemplos

El primer ejemplo de un fracaso, conocido como el fracaso de Atiyah , se encontró en (Atiyah 1958). Sean Y los ceros de in y sea V la ampliación de Y en el origen. El lugar excepcional de esta explosión es isomorfo a , y puede reducirse de dos maneras diferentes, dando variedades y . El mapa biracional natural de a es el flop de Atiyah. ${\displaystyle xy=zw}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Reid (1983) introdujo la pagoda de Reid , una generalización del flop de Atiyah reemplazando Y por los ceros de . ${\displaystyle xy=(z+w^{k})(z-w^{k})}$

Referencias

1. Más precisamente, existe una conjetura que afirma que cada secuencia ⇢ ⇢ ⇢ ⇢ de cambios de variedades con singularidades terminales logarítmicas de Kawamata, proyectivas sobre una variedad normal fija, termina después de un número finito de pasos. ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle Z}$

• Atiyah, Michael Francis (1958), "Sobre superficies analíticas con puntos dobles", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería , 247 (1249): 237–244, Bibcode :1958RSPSA.247..237A, doi :10.1098/rspa.1958.0181, MR  0095974
• Birkar, Caucher ; Cascini, Paolo; Hacón, Christopher D .; McKernan, James (2010), "Existencia de modelos mínimos para variedades de tipo general logarítmico", Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS... 23..405B, doi :10.1090/S0894-0347-09-00649-3, ISSN  0894-0347, SEÑOR  2601039
• Corti, Alessio (diciembre de 2004), "¿Qué es... un flip?" ( PDF ) , Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense , 51 (11): 1350–1351 , consultado el 17 de enero de 2008
• Kollár, János (1991), "Flip and flop", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I, II (Kyoto, 1990) , Tokio: Math. Soc. Japón, págs. 709–714, MR  1159257
• Kollár, János (1991), "Flips, flops, minimal models, etc", Encuestas en geometría diferencial (Cambridge, MA, 1990) , Bethlehem, PA: Lehigh Univ., págs. 113-199, MR  1144527
• Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge University Press , ISBN 0-521-63277-3
• Matsuki, Kenji (2002), Introducción al programa Mori , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98465-0, señor  1875410
• Mori, Shigefumi (1988), "Teorema de inversión y la existencia de modelos mínimos para 3 veces", Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense , 1 (1): 117–253, doi : 10.1090/s0894-0347-1988-0924704- x , JSTOR  1990969, SEÑOR  0924704
• Morrison, David (2005), Flops, flips y factorización matricial (PDF) , Geometría algebraica y más, RIMS, Universidad de Kyoto
• Reid, Miles (1983), "Modelos mínimos de pliegues canónicos", Variedades algebraicas y variedades analíticas (Tokio, 1981) , Adv. Semental. Matemáticas puras, vol. 1, Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 131–180, SEÑOR  0715649 ${\displaystyle 3}$
• Shokurov, Vyacheslav V. (1993), Volteos de troncos tridimensionales. Con apéndice en inglés de Yujiro Kawamata , vol. 1, académico ruso. Ciencia. Izv. Matemáticas. 40, págs. 95-202.
• Shokurov, Vyacheslav V. (2003), Giros previos , Proc. Instituto Steklov. Matemáticas. 240, págs. 75-213.