En matemáticas , el teorema de Siegel sobre puntos integrales establece que para una curva algebraica suave C de género g definida sobre un campo numérico K , presentada en espacio afín en un sistema de coordenadas dado, sólo hay un número finito de puntos en C con coordenadas en el anillo de enteros O de K , siempre que g > 0.
El teorema fue demostrado por primera vez en 1929 por Carl Ludwig Siegel y fue el primer resultado importante de las ecuaciones diofánticas que dependían únicamente del género y no de ninguna forma algebraica especial de las ecuaciones. Para g > 1 fue reemplazado por el teorema de Faltings en 1983.
En 1926, Siegel demostró el teorema eficazmente en el caso especial , de modo que demostró este teorema condicionalmente, siempre que la conjetura de Mordell fuera cierta.
En 1929, Siegel demostró el teorema incondicionalmente combinando una versión del teorema de Thue-Siegel-Roth , de la aproximación diofántica , con el teorema de Mordell-Weil de la geometría diofántica (requerido en la versión de Weil, para aplicarse a la variedad jacobiana de C ).
En 2002, Umberto Zannier y Pietro Corvaja dieron una nueva demostración utilizando un nuevo método basado en el teorema del subespacio . [1]
El resultado de Siegel fue ineficaz para (ver resultados efectivos en teoría de números ), ya que el método de Thue en aproximación diofántica también es ineficaz para describir posibles muy buenas aproximaciones racionales a casi todos los números algebraicos de grado . Siegel sólo demostró su eficacia en un caso especial en 1926. En algunos casos, los resultados eficaces se derivan del método de Baker .
