En matemáticas , las propiedades de finitud de un grupo son una colección de propiedades que permiten el uso de diversas herramientas algebraicas y topológicas , por ejemplo la cohomología de grupos , para estudiar el grupo. Es sobre todo de interés para el estudio de grupos infinitos.
Los casos especiales de grupos con propiedades finitas son grupos finitamente generados y presentados finitamente .
Dado un número entero n ≥ 1, se dice que un grupo es de tipo F n si existe un complejo CW asférico cuyo grupo fundamental es isomorfo a (un espacio de clasificación para ) y cuyo n -esqueleto es finito. Se dice que un grupo es de tipo F ∞ si es de tipo F n para cada n . Es de tipo F si existe un complejo CW asférico finito del cual es el grupo fundamental.
Para valores pequeños de n, estas condiciones tienen interpretaciones más clásicas:
Se sabe que por cada n ≥ 1 existen grupos de tipo F n que no son de tipo F n +1 . Los grupos finitos son de tipo F ∞ pero no de tipo F . El grupo de Thompson es un ejemplo de un grupo libre de torsión que es de tipo F ∞ pero no de tipo F . [1]
Una reformulación de la propiedad F n es que un grupo la tiene si y sólo si actúa adecuadamente de forma discontinua, libre y cocompacta sobre un complejo CW cuyos grupos de homotopía desaparecen. Otra propiedad de finitud se puede formular reemplazando la homotopía por la homología: se dice que un grupo es de tipo FH n si actúa como se indicó anteriormente en un complejo CW cuyos n primeros grupos de homología desaparecen.
Sea un grupo y su anillo de grupo . Se dice que el grupo es de tipo FP n si existe una resolución del módulo trivial tal que los n primeros términos sean módulos proyectivos generados finitamente . [2] Los tipos FP ∞ y FP se definen de forma obvia.
La misma afirmación con módulos proyectivos reemplazados por módulos libres define las clases FL n para n ≥ 1, FL ∞ y FL .
También es posible definir las clases FP n ( R ) y FL n ( R ) para cualquier anillo conmutativo R , reemplazando el anillo de grupo por en las definiciones anteriores.
Cualquiera de las condiciones F n o FH n implica FP n y FL n (sobre cualquier anillo conmutativo). Un grupo es de tipo FP 1 si y sólo si se genera de forma finita, [2] pero para cualquier n ≥ 2 existen grupos que son de tipo FP n pero no F n . [3]
Si un grupo es de tipo FP n, entonces sus grupos de cohomología se generan de forma finita para . Si es de tipo FP entonces es de dimensión cohomológica finita. Por tanto, las propiedades de finitud juegan un papel importante en la teoría de la cohomología de grupos.
Un grupo cíclico finito actúa libremente sobre la esfera unitaria en , preservando una estructura compleja CW con un número finito de celdas en cada dimensión. [4] Dado que esta esfera unitaria es contráctil, cada grupo cíclico finito es de tipo F ∞ .
La resolución estándar [5] para un grupo da lugar a un complejo CW contráctil de acción libre en el que las celdas de dimensión corresponden a tuplas de elementos de . Esto muestra que todo grupo finito es de tipo F ∞ .
Un grupo finito no trivial nunca es de tipo F porque tiene una dimensión cohomológica infinita. Esto también implica que un grupo con un subgrupo de torsión no trivial nunca es del tipo F.
Si es un grupo nilpotente generado finitamente y sin torsión , entonces es de tipo F. [6]
Los grupos curvados negativamente ( grupos hiperbólicos o CAT(0) ) son siempre del tipo F ∞ . [7] Tal grupo es de tipo F si y sólo si está libre de torsión.
Como ejemplo, los grupos aritméticos S cocompactos en grupos algebraicos sobre campos numéricos son de tipo F ∞ . La compactación de Borel-Serre muestra que este también es el caso de los grupos aritméticos no cocompactos.
Los grupos aritméticos sobre campos funcionales tienen propiedades de finitud muy diferentes: si es un grupo aritmético en un grupo algebraico simple de rango sobre un campo funcional global (como ), entonces es de tipo F r pero no de tipo F r+1 . [8]
