Relleno simpléctico

Cobordismo W entre X y el conjunto vacío

En matemáticas , un relleno de una variedad X es un cobordismo W entre X y el conjunto vacío . Más concretamente, la variedad topológica n -dimensional X es el límite de una variedad ( n  + 1)-dimensional W. Quizás el área más activa de investigación actual es cuando n  = 3, donde se pueden considerar ciertos tipos de rellenos.

Existen muchos tipos de rellenos, y a continuación se presentan algunos ejemplos de estos tipos (dentro de una perspectiva probablemente limitada).

• Un relleno orientado de cualquier variedad orientable X es otra variedad W tal que la orientación de X está dada por la orientación de contorno de W , que es aquella en la que el primer vector base del espacio tangente en cada punto del contorno es el que apunta directamente hacia fuera de W , con respecto a una métrica de Riemann elegida . Los matemáticos llaman a esta orientación la convención de la normal hacia afuera primero .

Todos los cobordismos siguientes están orientados, y la orientación en W viene dada por una estructura simpléctica. Sea ξ el núcleo de la forma de contacto  α .

• Un llenado simpléctico débil de una variedad de contacto ( X , ξ ) es una variedad simpléctica ( W , ω ) con tal que . ${\displaystyle \partial W=X}$ ${\displaystyle \omega |_{\xi }>0}$
• Un llenado simpléctico fuerte de una variedad de contacto ( X , ξ ) es una variedad simpléctica ( W , ω ) con tal que ω es exacto cerca del límite (que es X ) y α es un primitivo para ω . Es decir, ω = dα en un entorno del límite . ${\displaystyle \partial W=X}$ ${\displaystyle \partial W=X}$
• Un relleno de Stein de una variedad de contacto ( X , ξ ) es una variedad de Stein W que tiene a X como su límite estrictamente pseudoconvexo y ξ es el conjunto de tangencias complejas a X – es decir, aquellos planos tangentes a X que son complejos con respecto a la estructura compleja en W . El ejemplo canónico de esto es la 3-esfera donde la estructura compleja en es la multiplicación por en cada coordenada y W es la bola {| x | < 1} limitada por esa esfera. $${\displaystyle \{x\in \mathbb {C} ^{2}:|x|=1\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

Se sabe que esta lista es estrictamente creciente en dificultad en el sentido de que hay ejemplos de 3-variedades de contacto con relleno débil pero no fuerte, y otras que tienen relleno fuerte pero no de Stein. Además, se puede demostrar que cada tipo de relleno es un ejemplo del que lo precede, de modo que un relleno de Stein es un relleno simpléctico fuerte, por ejemplo. Solía ​​ser que uno hablaba de semi-rellenos en este contexto, lo que significa que X es uno de posiblemente muchos componentes de contorno de W , pero se ha demostrado que cualquier semi-relleno puede ser modificado para ser un relleno del mismo tipo, de la misma 3-variedad, en el mundo simpléctico (las variedades de Stein siempre tienen un componente de contorno).

Referencias

• Y. Eliashberg, Algunas observaciones sobre el relleno simpléctico , Geometry and Topology 8 , 2004, págs. 277–293 arXiv :math/0311459
• J. Etnyre, On Symplectic Fillings Algebr. Geom. Topol. 4 (2004), págs. 73–80 en línea
• H. Geiges, Introducción a la topología de contacto, Cambridge University Press, 2008