En geometría , una teselación de una región en el plano euclidiano es una teselación de la región mediante fichas de dominó , formas formadas por la unión de dos cuadrados unitarios que se encuentran borde con borde. De manera equivalente, es una correspondencia perfecta en el gráfico de cuadrícula que se forma colocando un vértice en el centro de cada cuadrado de la región y conectando dos vértices cuando corresponden a cuadrados adyacentes.
Para algunas clases de teselas en una cuadrícula regular en dos dimensiones, es posible definir una función de altura que asocie un número entero a los vértices de la cuadrícula. Por ejemplo, dibuje un tablero de ajedrez, fije un nodo con altura 0, luego para cada nodo hay una ruta desde hasta él. En esta ruta, defina la altura de cada nodo (es decir, las esquinas de los cuadrados) como la altura del nodo anterior más uno si el cuadrado a la derecha de la ruta desde hasta es negro, y menos uno en caso contrario.
Se pueden encontrar más detalles en Kenyon y Okounkov (2005).
William Thurston (1990) describe una prueba para determinar si una región simplemente conexa, formada como la unión de cuadrados unitarios en el plano, tiene una disposición en dominó. Forma un grafo no dirigido que tiene como vértices los puntos ( x , y , z ) en la red entera tridimensional , donde cada uno de esos puntos está conectado a cuatro vecinos: si x + y es par, entonces ( x , y , z ) está conectado a ( x + 1, y , z + 1), ( x − 1, y , z + 1), ( x , y + 1, z − 1) y ( x , y − 1, z − 1), mientras que si x + y es impar, entonces ( x , y , z ) está conectado a ( x + 1, y , z − 1), ( x − 1, y , z − 1), ( x , y + 1, z + 1) y ( x , y − 1, z + 1). El límite de la región, visto como una secuencia de puntos enteros en el plano ( x , y ), se eleva de manera única (una vez que se elige una altura inicial) hasta una ruta en este gráfico tridimensional . Una condición necesaria para que esta región sea enlosable es que esta ruta debe cerrarse para formar una curva cerrada simple en tres dimensiones; sin embargo, esta condición no es suficiente. Utilizando un análisis más cuidadoso de la ruta límite, Thurston proporcionó un criterio para la enlosabilidad de una región que era suficiente y necesario.
El número de formas de cubrir un rectángulo con fichas de dominó, calculado independientemente por Temperley y Fisher (1961) y Kasteleyn (1961), viene dado por (secuencia A099390 en la OEIS )
Cuando tanto m como n son impares, la fórmula reduce correctamente a cero las posibles teselaciones de dominó.
Un caso especial ocurre cuando se cubre el rectángulo con n fichas de dominó: la secuencia se reduce a la secuencia de Fibonacci . [1]
Otro caso especial ocurre para los cuadrados con m = n = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... es
Estos números se pueden encontrar escribiéndolos como el Pfaffian de una matriz antisimétrica cuyos valores propios se pueden encontrar explícitamente. Esta técnica se puede aplicar en muchas materias relacionadas con las matemáticas, por ejemplo, en el cálculo clásico bidimensional de la función correlacionadora dímero-dímero en mecánica estadística .
El número de teselas de una región es muy sensible a las condiciones de contorno y puede cambiar drásticamente con cambios aparentemente insignificantes en la forma de la región. Esto se ilustra con el número de teselas de un diamante azteca de orden n , donde el número de teselas es 2 ( n + 1) n /2 . Si esto se reemplaza por el "diamante azteca aumentado" de orden n con 3 filas largas en el medio en lugar de 2, el número de teselas cae al número mucho más pequeño D( n , n ), un número de Delannoy , que solo tiene crecimiento exponencial en lugar de superexponencial en n . Para el "diamante azteca reducido" de orden n con solo una fila larga en el medio, solo hay una tesela.
Los tatamis son esteras japonesas en forma de dominó (rectángulo de 1x2). Se utilizan para revestir habitaciones, pero con reglas adicionales sobre cómo se pueden colocar. En particular, por lo general, las uniones donde se juntan tres tatamis se consideran auspiciosas, mientras que las uniones donde se juntan cuatro son desfavorables, por lo que un revestimiento de tatami adecuado es aquel en el que solo se juntan tres tatamis en cualquier esquina. [2] El problema de revestir una habitación irregular con tatamis que se juntan tres en una esquina es NP-completo . [3]
Existe una correspondencia uno a uno entre un mosaico periódico en forma de dominó y una configuración de estado fundamental del modelo de Ising completamente frustrado en una red periódica bidimensional. [4] En el estado fundamental, cada plaqueta del modelo de espín debe contener exactamente una interacción frustrada . Por lo tanto, viéndolo desde la red dual , cada borde frustrado debe estar "cubierto" por un rectángulo de 1x2 , de modo que los rectángulos abarquen toda la red y no se superpongan, o un mosaico en forma de dominó de la red dual.
