En matemáticas , un fibrado lineal expresa el concepto de una línea que varía de un punto a otro de un espacio. Por ejemplo, una curva en el plano que tiene una línea tangente en cada punto determina una línea variable: el fibrado tangente es una forma de organizarlos. Más formalmente, en topología algebraica y topología diferencial , un fibrado lineal se define como un fibrado vectorial de rango 1. [1]
Los fibrados de líneas se especifican eligiendo un espacio vectorial unidimensional para cada punto del espacio de manera continua. En aplicaciones topológicas, este espacio vectorial suele ser real o complejo. Los dos casos muestran un comportamiento fundamentalmente diferente debido a las diferentes propiedades topológicas de los espacios vectoriales reales y complejos: si se elimina el origen de la línea real, el resultado es el conjunto de matrices reales invertibles 1×1 , que es homotópicamente equivalente a un espacio discreto de dos puntos al contraer los reales positivos y negativos cada uno a un punto; mientras que al eliminar el origen del plano complejo se obtienen las matrices complejas invertibles 1×1, que tienen el tipo de homotopía de un círculo.
Desde la perspectiva de la teoría de la homotopía , un fibrado lineal real se comporta, por tanto, de forma muy similar a un fibrado de fibras con una fibra de dos puntos, es decir, como una doble cobertura . Un caso especial de esto es la doble cobertura orientable de una variedad diferenciable , donde el fibrado lineal correspondiente es el fibrado determinante del fibrado tangente (véase más abajo). La banda de Möbius corresponde a una doble cobertura del círculo (la aplicación θ → 2θ) y, al cambiar la fibra, también puede verse como si tuviera una fibra de dos puntos, el intervalo unitario como una fibra o la línea real.
Los fibrados lineales complejos están estrechamente relacionados con los fibrados circulares . Hay algunos fibrados famosos, por ejemplo, las fibraciones de Hopf de esferas a esferas.
En geometría algebraica , un haz invertible (es decir, un haz localmente libre de rango uno) a menudo se denomina fibrado lineal .
Todo fibrado lineal surge de un divisor con las siguientes condiciones
(I) Si X es un esquema reducido e irreducible, entonces todo fibrado lineal proviene de un divisor.
(II) Si X es un esquema proyectivo entonces se cumple la misma afirmación.
Uno de los fibrados lineales más importantes en geometría algebraica es el fibrado lineal tautológico en el espacio proyectivo . La proyectivización P ( V ) de un espacio vectorial V sobre un cuerpo k se define como el cociente de por la acción del grupo multiplicativo k × . Por lo tanto, cada punto de P ( V ) corresponde a una copia de k × , y estas copias de k × se pueden ensamblar en un fibrado k × sobre P ( V ). k × difiere de k solo por un único punto, y al unir ese punto a cada fibra, obtenemos un fibrado lineal en P ( V ). Este fibrado lineal se llama fibrado lineal tautológico . Este fibrado lineal a veces se denota ya que corresponde al dual del haz tortuoso de Serre .
Supóngase que X es un espacio y que L es un fibrado lineal en X. Una sección global de L es una función s: X → L tal que si p: L → X es la proyección natural, entonces ps = id X. En un entorno pequeño U en X en el que L es trivial, el espacio total del fibrado lineal es el producto de U y el cuerpo subyacente k , y la sección s se restringe a una función U → k . Sin embargo, los valores de s dependen de la elección de la trivialización, y por lo tanto están determinados solo hasta la multiplicación por una función que no se desvanece en ninguna parte.
Las secciones globales determinan funciones en espacios proyectivos de la siguiente manera: al elegir r + 1 no todos los puntos cero en una fibra de L se elige una fibra del fibrado lineal tautológico en P r , por lo que al elegir r + 1 secciones globales de L que no se desvanecen simultáneamente se determina una función de X en el espacio proyectivo P r . Esta función envía las fibras de L a las fibras del dual del fibrado tautológico. Más específicamente, supongamos que s 0 , ..., s r son secciones globales de L . En un pequeño vecindario U en X , estas secciones determinan funciones de valor k en U cuyos valores dependen de la elección de la trivialización. Sin embargo, están determinadas hasta la multiplicación simultánea por una función distinta de cero, por lo que sus razones están bien definidas. Es decir, sobre un punto x , los valores s 0 ( x ), ..., s r ( x ) no están bien definidos porque un cambio en la trivialización los multiplicará cada uno por una constante distinta de cero λ. Pero las multiplicará por la misma constante λ, por lo que las coordenadas homogéneas [ s 0 ( x ) : ... : s r ( x )] están bien definidas siempre que las secciones s 0 , ..., s r no se anulen simultáneamente en x . Por lo tanto, si las secciones nunca se anulan simultáneamente, determinan una forma [ s 0 : ... : s r ] que da una función de X a P r , y el pullback del dual del fibrado tautológico bajo esta función es L . De esta manera, el espacio proyectivo adquiere una propiedad universal .
La forma universal de determinar una función en el espacio proyectivo es asignarla a la proyectivización del espacio vectorial de todas las secciones de L. En el caso topológico, hay una sección no nula en cada punto que se puede construir usando una función de protuberancia que se nula fuera de una pequeña vecindad del punto. Debido a esto, la función resultante se define en todas partes. Sin embargo, el codominio suele ser demasiado grande para ser útil. Lo opuesto es cierto en los entornos algebraicos y holomorfos. Aquí, el espacio de secciones globales suele ser de dimensión finita, pero puede que no haya ninguna sección global no nula en un punto dado. (Como en el caso en el que este procedimiento construye un lápiz de Lefschetz ). De hecho, es posible que un fibrado no tenga ninguna sección global distinta de cero; este es el caso del fibrado lineal tautológico. Cuando el fibrado lineal es suficientemente amplio, esta construcción verifica el teorema de incrustación de Kodaira .
En general, si V es un fibrado vectorial en un espacio X , con dimensión de fibra constante n , la n -ésima potencia exterior de V tomada fibra por fibra es un fibrado lineal, llamado fibrado lineal determinante . Esta construcción se aplica en particular al fibrado cotangente de una variedad lisa . El fibrado determinante resultante es responsable del fenómeno de densidades tensoriales , en el sentido de que para una variedad orientable tiene una sección global no nula, y sus potencias tensoriales con cualquier exponente real pueden definirse y usarse para 'retorcer' cualquier fibrado vectorial por producto tensorial .
La misma construcción (tomando la potencia exterior superior) se aplica a un módulo proyectivo finitamente generado M sobre un dominio noetheriano y el módulo invertible resultante se denomina módulo determinante de M.
La primera clase de Stiefel–Whitney clasifica los fibrados lineales reales lisos; en particular, la colección de (clases de equivalencia de) fibrados lineales reales se corresponde con elementos de la primera cohomología con coeficientes Z /2 Z ; esta correspondencia es de hecho un isomorfismo de grupos abelianos (las operaciones de grupo son el producto tensorial de los fibrados lineales y la adición usual en cohomología). Análogamente, la primera clase de Chern clasifica fibrados lineales complejos lisos en un espacio, y el grupo de fibrados lineales es isomorfo a la segunda clase de cohomología con coeficientes enteros. Sin embargo, los fibrados pueden tener estructuras lisas equivalentes (y por lo tanto la misma primera clase de Chern) pero diferentes estructuras holomorfas. Las afirmaciones de la clase de Chern se prueban fácilmente utilizando la secuencia exponencial de haces en la variedad.
El problema de la clasificación se puede considerar de manera más general desde un punto de vista teórico de la homotopía. Existe un fibrado universal para los fibrados lineales reales y un fibrado universal para los fibrados lineales complejos. Según la teoría general sobre los espacios de clasificación , la heurística consiste en buscar espacios contráctiles en los que existan acciones de grupo de los respectivos grupos C 2 y S 1 , que sean acciones libres. Esos espacios pueden servir como fibrados principales universales y los cocientes de las acciones como espacios de clasificación BG . En estos casos podemos encontrarlos explícitamente, en los análogos de dimensión infinita del espacio proyectivo real y complejo .
Por lo tanto, el espacio clasificador BC 2 es del tipo de homotopía de RP ∞ , el espacio proyectivo real dado por una secuencia infinita de coordenadas homogéneas . Lleva el fibrado lineal real universal; en términos de la teoría de homotopía eso significa que cualquier fibrado lineal real L en un complejo CW X determina una función clasificadora de X a RP ∞ , haciendo de L un fibrado isomorfo al pullback del fibrado universal. Esta función clasificadora se puede utilizar para definir la clase Stiefel-Whitney de L , en la primera cohomología de X con coeficientes Z /2 Z , a partir de una clase estándar en RP ∞ .
De manera análoga, el espacio proyectivo complejo CP ∞ lleva un fibrado lineal complejo universal. En este caso, las funciones clasificadoras dan lugar a la primera clase de Chern de X , en H 2 ( X ) (cohomología integral).
Existe otra teoría análoga con fibrados lineales cuaterniónicos (de dimensión real cuatro). Esto da lugar a una de las clases de Pontryagin , en cohomología de cuatro dimensiones reales.
De esta manera, los casos fundamentales de la teoría de clases características dependen únicamente de los fibrados lineales. Según un principio general de división, esto puede determinar el resto de la teoría (si no de manera explícita).
Existen teorías de fibrados lineales holomórficos en variedades complejas y haces invertibles en geometría algebraica , que desarrollan una teoría de fibrados lineales en esas áreas.
