Fórmula de trazas de Behrend

En geometría algebraica , la fórmula de traza de Behrend es una generalización de la fórmula de traza de Grothendieck-Lefschetz a una pila algebraica suave sobre un cuerpo finito conjeturada en 1993 ^[1] y demostrada en 2003 ^[2] por Kai Behrend . A diferencia de la clásica, la fórmula cuenta los puntos en el " modo apilado "; tiene en cuenta la presencia de automorfismos no triviales.

El deseo de la fórmula proviene del hecho de que se aplica a la pila de módulos de los fibrados principales en una curva sobre un campo finito (en algunos casos indirectamente, a través de la estratificación de Harder-Narasimhan , ya que la pila de módulos no es de tipo finito. ^{[3] [4]} ) Consulte la pila de módulos de los fibrados principales y las referencias allí incluidas para obtener la formulación precisa en este caso.

Pierre Deligne encontró un ejemplo ^[5] que muestra que la fórmula puede interpretarse como una especie de fórmula de traza de Selberg .

Shenghao Sun ofrece una prueba de la fórmula en el contexto del formalismo de seis operaciones desarrollado por Yves Laszlo y Martin Olsson ^{[6]. [7]}

Formulación

Por definición, si C es una categoría en la que cada objeto tiene un número finito de automorfismos, el número de puntos en se denota por ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \#C=\sum _{p}{1 \over \#\operatorname {Aut} (p)},}$

con la suma corriendo sobre representantes p de todas las clases de isomorfismo en C . (La serie puede divergir en general.) La fórmula establece: para una pila algebraica suave X de tipo finito sobre un cuerpo finito y el Frobenius "aritmético" , es decir, el inverso del Frobenius geométrico usual en la fórmula de Grothendieck, ^{[8] [9]} ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}:X\to X}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \#X(\mathbb {F} _{q})=q^{\dim X}\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} \left(\phi ^{-1};H^{i}(X,\mathbb {Q} _{l})\right).}$

Aquí, es crucial que la cohomología de una pila sea con respecto a la topología suave (no etale).

Cuando X es una variedad, la cohomología suave es la misma que la étale y, a través de la dualidad de Poincaré , esto es equivalente a la fórmula de trazas de Grothendieck. (Pero la prueba de la fórmula de trazas de Behrend se basa en la fórmula de Grothendieck, por lo que esta no incluye la de Grothendieck).

Ejemplo sencillo

Considérese , la pila clasificadora del esquema de grupo multiplicativo (es decir, ). Por definición, es la categoría de fibrados principales sobre , que tiene solo una clase de isomorfismo (ya que todos esos fibrados son triviales según el teorema de Lang ). Su grupo de automorfismos es , lo que significa que el número de -isomorfismos es . ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}=[\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}/\mathbb {G} _{m}]}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)=R^{\times }}$ ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \#\mathbb {G} _{m}(\mathbb {F} _{q})=\#\mathbb {F} _{q}^{\times }=q-1}$

Por otra parte, podemos calcular la cohomología l -ádica de directamente. Observamos que en el contexto topológico, tenemos (donde ahora denota el espacio de clasificación habitual de un grupo topológico), cuyo anillo de cohomología racional es un anillo polinomial en un generador ( teorema de Borel ), pero no lo usaremos directamente. Si deseamos permanecer en el mundo de la geometría algebraica, podemos en cambio "aproximarnos" mediante espacios proyectivos de dimensión cada vez mayor. Así, consideramos la función inducida por el fibrado correspondiente a Esta función induce un isomorfismo en la cohomología en grados hasta 2N . Por lo tanto, los números de Betti pares (o impares) de son 1 (o 0), y la representación de Galois l -ádica en el (2n) ésimo grupo de cohomología es la n ésima potencia del carácter ciclotómico. La segunda parte es una consecuencia del hecho de que la cohomología de se genera mediante clases de ciclo algebraico. Esto demuestra que ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle B\mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle B\mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {P} ^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1).}$ ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{i\geq 0}(-1)^{i}\operatorname {tr} \left(\phi ^{-1};H^{i}(B\mathbb {G} _{m},\mathbb {Q} _{l})\right)=1+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q^{2}}}+\cdots ={\frac {q}{q-1}}.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \dim B\mathbb {G} _{m}=\dim \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}-\dim \mathbb {G} _{m}=-1.}$

Multiplicando por , se obtiene la igualdad prevista. ${\displaystyle q^{-1}}$

Notas

1. Behrend, K. La fórmula de traza de Lefschetz para la pila de módulos de haces principales. Tesis doctoral.
2. Behrend, Kai (2003), "Categorías l-ádicas derivadas para pilas algebraicas" (PDF) , Memorias de la American Mathematical Society , 163 , doi :10.1090/memo/0774
3. K. Behrend, A. Dhillon, Componentes conectados de pilas de módulos de torsores mediante números de Tamagawa
4. Lurie, Jacob (primavera de 2014), "Formulación cohomológica (conferencia 3)" (PDF) , Números de Tamagawa a través de la dualidad de Poincaré no abeliana (282 años) , Instituto de Estudios Avanzados
5. Behrend 2003, Proposición 6.4.11
6. * Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2006). "Las seis operaciones para haces en pilas de Artin I: Coeficientes finitos". arXiv : math/0512097v2 .
7. Shenghao 2011
8. Para definir Frobenius en una pila X , sea . Entonces tenemos , que es el Frobenius en X , también denotado por . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi :{\overline {\mathbb {F} _{q}}}\to {\overline {\mathbb {F} _{q}}},x\mapsto x^{q}}$ ${\displaystyle id\times \phi :X\times _{\mathbb {F} _{q}}{\overline {\mathbb {F} _{q}}}\to X\times _{\mathbb {F} _{q}}{\overline {\mathbb {F} _{q}}}}$ ${\displaystyle \phi }$
9. Behrend 2003, Corolario 6.4.10

Referencias

• Shenghao, Sun (2011). "L-series de pilas de Artin sobre cuerpos finitos". Álgebra y teoría de números . 6 : 47–122. arXiv : 1008.3689 . doi :10.2140/ant.2012.6.47. S2CID  119599074.