Fórmula de masa Gell-Mann-Okubo

Fórmula de masa para hadrones

En física , la fórmula de masa de Gell-Mann–Okubo proporciona una regla de suma para las masas de los hadrones dentro de un multiplete específico, determinado por su isospín ( I ) y extrañeza (o alternativamente, hipercarga ).

${\displaystyle M=a_{0}+a_{1}Y+a_{2}\left[I\left(I+1\right)-{\frac {1}{4}}Y^{2}\right],}$

donde a ₀ , a ₁ y a ₂ son parámetros libres .

La regla fue formulada por primera vez por Murray Gell-Mann en 1961 ^[1] y propuesta independientemente por Susumu Okubo en 1962. ^{[2] [3]} El isospín y la hipercarga son generados por SU(3) , que puede representarse por ocho matrices hermíticas y sin trazas correspondientes a los "componentes" del isospín y la hipercarga. Seis de las matrices corresponden al cambio de sabor, y las dos finales corresponden al tercer componente de la proyección del isospín y la hipercarga.

Teoría

La fórmula de masa se obtuvo considerando las representaciones del álgebra de Lie su(3) . En particular, el octeto de mesones corresponde al sistema raíz de la representación adjunta . Sin embargo, la representación más simple y de menor dimensión de su(3) es la representación fundamental , que es tridimensional y ahora se entiende que describe la simetría de sabor aproximada de los tres quarks u , d y s . Por lo tanto, el descubrimiento no solo de una simetría su(3), sino también de esta fórmula viable para el espectro de masas fue uno de los primeros indicadores de la existencia de quarks.

La fórmula se sustenta en la hipótesis de mejora del octeto , que atribuye el predominio de la ruptura de SU(3) al generador de hipercarga de SU(3), y, en términos modernos, a la masa relativamente mayor del quark extraño. ^{[4] [5]} ${\displaystyle Y={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}F_{8}=\operatorname {diag} (1,1,-2)/3~}$

Esta fórmula es fenomenológica , describe una relación aproximada entre las masas de los mesones y los bariones, y ha sido reemplazada a medida que avanza el trabajo teórico en cromodinámica cuántica , en particular la teoría de perturbación quiral.

Bariones

Utilizando los valores de I y S relevantes para los bariones, la fórmula de Gell-Mann-Okubo se puede reescribir para el octeto bariónico,

${\displaystyle {\frac {N+\Xi }{2}}={\frac {3\Lambda +\Sigma }{4}}\,}$

donde N , Λ, Σ y Ξ representan la masa promedio de los bariones correspondientes. Si utilizamos la masa actual de los bariones, ^[6] obtenemos:

${\displaystyle {\frac {N+\Xi }{2}}=1128.5~\mathrm {MeV} /c^{2}}$

y

${\displaystyle {\frac {3\Lambda +\Sigma }{4}}=1135.25~\mathrm {MeV} /c^{2}}$

lo que significa que la fórmula de Gell-Mann-Okubo reproduce la masa de los bariones del octeto dentro de ~0,5% de los valores medidos.

Para el decuplete bariónico, la fórmula de Gell-Mann-Okubo se puede reescribir como la regla del "espaciado igual".

${\displaystyle \Delta -\Sigma ^{*}=\Sigma ^{*}-\Xi ^{*}=\Xi ^{*}-\Omega =a_{1}+2a_{2}\approx \,-147~\mathrm {MeV} /c^{2}}$

donde Δ, Σ ^* , Ξ ^* y Ω representan la masa promedio de los bariones correspondientes.

La famosa fórmula del decuplete bariónico permitió a Gell-Mann predecir la masa del entonces no descubierto Ω ⁻ . ^{[7] [8]}

Mesones

La misma relación de masa se puede encontrar para el octeto mesónico,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {K^{-}+{\bar {K}}^{0}}{2}}+{\frac {K^{+}+K^{0}}{2}}\right)={\frac {3\eta +\pi }{4}}}$

Usando la masa actual de mesones, ^[6] esto produce

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {K^{-}+{\bar {K}}^{0}}{2}}+{\frac {K^{+}+K^{0}}{2}}\right)=496~\mathrm {MeV} /c^{2}}$

y

${\displaystyle {\frac {3\eta +\pi }{4}}=445~\mathrm {MeV} /c^{2}}$

Debido a esta gran discrepancia, varias personas intentaron encontrar una manera de entender el fracaso de la fórmula GMO en los mesones, cuando funcionó tan bien en los bariones. En particular, la gente notó que usar el cuadrado de las masas promedio arrojaba resultados mucho mejores: ^[9]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {K^{-}+{\bar {K}}^{0}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {K^{+}+K^{0}}{2}}\right)^{2}\right]={\frac {3\eta ^{2}+\pi ^{2}}{4}}}$

Esto ahora produce

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {K^{-}+{\bar {K}}^{0}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {K^{+}+K^{0}}{2}}\right)^{2}\right]=246\times 10^{3}~\mathrm {MeV^{2}} /c^{4}}$

y

${\displaystyle {\frac {3\eta ^{2}+\pi ^{2}}{4}}=230\times 10^{3}~\mathrm {MeV^{2}} /c^{4}}$

que se encuentran dentro del 5% uno del otro.

Durante un tiempo, la fórmula GMO que involucra el cuadrado de las masas fue simplemente una relación empírica ; pero más tarde se encontró una justificación para usar el cuadrado de las masas ^{[10] [11]} en el contexto de la teoría de perturbación quiral , solo para mesones pseudoescalares, ya que estos son los bosones pseudogoldstone de simetría quiral rota dinámicamente y, como tales, obedecen la fórmula de masa de Dashen. Otros mesones, como los vectoriales, no necesitan ser elevados al cuadrado para que funcione la fórmula GMO.

Véase también

• Fórmula de Gell-Mann-Nishijima
• Camino Óctuple
• Modelo de quarks
• SU(3)

Referencias

1. M. Gell-Mann (1961). "La vía óctuple: una teoría de la simetría de interacción fuerte" (PDF) . Informe del laboratorio de sincrotrón CTSL-20. Instituto Tecnológico de California . doi :10.2172/4008239. OSTI  4008239. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
2. S. Okubo (1962). "Nota sobre simetría unitaria en interacciones fuertes". Progreso de la física teórica . 27 (5): 949–966. Código Bibliográfico :1962PThPh..27..949O. doi : 10.1143/PTP.27.949 .
3. S. Okubo (1962). "Nota sobre simetría unitaria en interacciones fuertes. II —Estados excitados de bariones—". Progreso de la física teórica . 28 (1): 24–32. Código Bibliográfico :1962PThPh..28...24O. doi : 10.1143/PTP.28.24 .
4. S. Coleman (1988). Aspectos de la simetría. Cambridge University Press . Secciones 1.3.5 y 1.4. ISBN 978-0-521-31827-3.
5. H. Goldberg; Y. Lehrer‐Ilamed (abril de 1963). "Derivación de la fórmula de masa de Gell‐Mann‐Okubo". Journal of Mathematical Physics . 4 : 501–502. doi :10.1063/1.1703982.
6. J. Beringer; et al. ( Particle Data Group ) (2012). "Revisión de física de partículas". Physical Review D . 86 (1): 010001. Bibcode :2012PhRvD..86a0001B. doi : 10.1103/PhysRevD.86.010001 . hdl : 1854/LU-3822071 .y actualización parcial de 2013 para la edición de 2014.
7. M. Gell-Mann (1962). "Física de partículas extrañas. Interacciones fuertes". En J. Prentki (ed.). Actas de la Conferencia internacional sobre física de altas energías en el CERN, Ginebra, 1962. CERN . pág. 805.
8. VE Barnes; et al. (1964). "Observación de un hiperón con extrañeza número tres" (PDF) . Physical Review Letters . 12 (8): 204. Bibcode :1964PhRvL..12..204B. doi :10.1103/PhysRevLett.12.204. OSTI  12491965.
9. DJ Griffiths (1987). Introducción a las partículas elementales . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-60386-3.
10. JF Donoghue; E. Golowich; BR Holstein (1992). Dinámica del modelo estándar . Cambridge University Press . Págs. 188-191. ISBN. 978-0-521-47652-2.
11. S. Weinberg (1996). La teoría cuántica de campos, volumen 2. Cambridge University Press . págs. 225-233. ISBN. 978-0-521-55002-4.

Lectura adicional

El siguiente libro contiene la mayoría (si no todos) de los artículos históricos sobre el Camino Óctuple y temas relacionados, incluida la fórmula de masa de Gell-Mann-Okubo.

• M. Gell-Mann; Y. Ne'eman, eds. (1964). El Óctuple Camino (PDF) . WA Benjamín . LCCN  65013009.