La fórmula de Margrabe

Fórmula que calcula los precios de las opciones sobre acciones que pagan dividendos

En finanzas matemáticas , la fórmula de Margrabe ^[1] es una fórmula de valoración de opciones aplicable a una opción de intercambio de un activo riesgoso por otro activo riesgoso al vencimiento. Fue derivada por William Margrabe (PhD Chicago) en 1978. El trabajo de Margrabe ha sido citado en más de 2000 artículos posteriores. ^[2]

Fórmula

Supongamos que S ₁ (t) y S ₂ (t) son los precios de dos activos riesgosos en el momento t , y que cada uno tiene un rendimiento por dividendo continuo constante q _i . La opción, C , que deseamos fijar el precio otorga al comprador el derecho, pero no la obligación, de intercambiar el segundo activo por el primero en el momento del vencimiento T . En otras palabras, su pago, C(T) , es máx(0, S ₁ (T) - S ₂ (T)) .

Si las volatilidades de los S i _son σ i _, entonces , donde ρ es el coeficiente de correlación de Pearson de los movimientos brownianos de los S _i . ${\displaystyle \textstyle \sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{2}\rho }}}$

La fórmula de Margrabe establece que el precio justo de la opción en el momento 0 es:

${\displaystyle e^{-q_{1}T}S_{1}(0)N(d_{1})-e^{-q_{2}T}S_{2}(0)N(d_{2})}$

dónde:

${\displaystyle q_{1},q_{2}}$son las tasas de dividendos esperadas de los precios bajo la medida neutral al riesgo adecuada, ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle N}$denota la función de distribución acumulativa para una normal estándar ,

${\displaystyle d_{1}=(\ln(S_{1}(0)/S_{2}(0))+(q_{2}-q_{1}+\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}}$,

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}$.

Derivación

El modelo de mercado de Margrabe supone únicamente la existencia de dos activos riesgosos, cuyos precios, como es habitual, se supone que siguen un movimiento browniano geométrico . Las volatilidades de estos movimientos brownianos no necesitan ser constantes, pero es importante que la volatilidad de S ₁ /S ₂ , σ , sea constante. En particular, el modelo no supone la existencia de un activo sin riesgo (como un bono cupón cero ) ni de ningún tipo de tasa de interés . El modelo no requiere una medida de probabilidad neutral al riesgo equivalente, sino una medida equivalente bajo S ₂ .

La fórmula se demuestra rápidamente reduciendo la situación a una en la que podemos aplicar la fórmula de Black-Scholes .

• _{En primer} lugar, considere ambos activos como cotizados en unidades de S2 (esto se llama "utilizar S2 como numerario "); esto significa que una unidad del primer activo ahora vale S1 /S2 _{unidades del segundo activo, y} una unidad del segundo activo vale 1.
• Con este cambio de precio numerario, el segundo activo es ahora un activo sin riesgo y su tasa de dividendo q ₂ es la tasa de interés. El pago de la opción, cuyo precio se ha modificado con este cambio de numerario, es máx(0, S ₁ (T)/S ₂ (T) - 1) .
• De esta forma, la opción original se ha convertido en una opción de compra sobre el primer activo (con su precio numerario) con un precio de ejercicio de 1 unidad del activo sin riesgo. Nótese que la tasa de dividendo _q1 del primer activo sigue siendo la misma incluso con el cambio de precio.
• Al aplicar la fórmula de Black-Scholes con estos valores como entradas apropiadas, por ejemplo, valor inicial del activo S ₁ (0)/S ₂ (0) , tasa de interés q ₂ , volatilidad σ , etc., obtenemos el precio de la opción bajo fijación de precios numeraria.
• Como el precio de la opción resultante está en unidades de S ₂ , al multiplicarlo por S ₂ (0) se deshará el cambio de numerario y se obtendrá el precio en nuestra moneda original, que es la fórmula anterior. Alternativamente, se puede demostrar mediante el teorema de Girsanov .

Enlaces externos y referencias

Notas

1. William Margrabe, "El valor de una opción para intercambiar un activo por otro", Journal of Finance , vol. 33, núm. 1, (marzo de 1978), págs. 177-186.
2. Google Scholar para este artículo

Referencia primaria

• William Margrabe, "El valor de una opción para intercambiar un activo por otro", Journal of Finance , Vol. 33, No. 1, (marzo de 1978), págs. 177-186.

Discusión

• Mark Davis, Imperial College London, Opciones multiactivos
• Rolf Poulsen, Universidad de Gotemburgo, La fórmula Margrabe