Métrica de Kähler de curvatura escalar constante

En geometría diferencial , una métrica de Kähler de curvatura escalar constante (métrica cscK) , es (como su nombre indica) una métrica de Kähler en una variedad compleja cuya curvatura escalar es constante. Un caso especial es la métrica de Kähler-Einstein y un caso más general es la métrica de Kähler extrema .

Donaldson (2002), Tian ^{[ cita necesaria ]} y Yau ^{[ cita necesaria ]} conjeturaron que la existencia de una métrica cscK en una variedad proyectiva polarizada es equivalente a que la variedad polarizada sea K-polistable . Desarrollos recientes en el campo sugieren que la equivalencia correcta puede ser que la variedad polarizada sea uniformemente K-poliestable ^{[ cita requerida ]} . Cuando la polarización está dada por el paquete de líneas (anti)-canónico (es decir, en el caso de las variedades Fano o Calabi-Yau ), las nociones de K-estabilidad y K-polistabilidad coinciden, las métricas cscK son precisamente métricas de Kähler-Einstein y las de Yau. -Se sabe que la conjetura de Tian-Donaldson se cumple ^{[ cita necesaria ]} .

Métricas extremas de Kähler

Las métricas de Kähler de curvatura escalar constante son ejemplos específicos de una noción más general de métrica canónica en variedades de Kähler, métricas extremas de Kähler . Las métricas extremas, como su nombre indica, extreman un determinado funcional en el espacio de las métricas de Kähler, el funcional Calabi, introducido por Calabi . ^{[1] [2]}

Calabí funcional

El funcional Calabi es un funcional definido en el espacio de potenciales de Kähler en una clase de cohomología de Kähler de Rham específica en una variedad Kähler compacta. Es decir, sea una clase de Kähler en una variedad Kähler compacta y sea cualquier métrica de Kähler en esta clase, que difiera de por el potencial . El funcional de Calabi está definido por ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(X)}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C(\omega _{\varphi })=\int _{X}S(\omega _{\varphi })^{2}\omega _{\varphi }^{n}}$

donde es la curvatura escalar de la métrica de Riemann asociada a y . Este funcional es esencialmente la norma al cuadrado de la curvatura escalar para las métricas de Kähler en la clase Kähler . Comprender el flujo de esta funcional, el flujo de Calabi , es un objetivo clave para comprender la existencia de métricas canónicas de Kähler. ${\displaystyle S(\omega _{\varphi })}$ ${\displaystyle \omega _{\varphi }}$ ${\displaystyle \dim X=n}$ ${\displaystyle [\omega ]}$

Métricas extremas

Por definición, una métrica de Kähler extrema es un punto crítico del funcional de Calabi, ^[1] ya sean minimizadores locales o globales. En este sentido, las métricas extremas de Kähler pueden verse como la mejor opción o la canónica de métrica de Kähler en cualquier variedad Kähler compacta.

Las métricas de Kähler de curvatura escalar constante son ejemplos de métricas de Kähler extremas que son minimizadores absolutos del funcional de Calabi. En este sentido, el funcional de Calabi es similar al funcional de Yang-Mills y las métricas extremas son similares a las conexiones de Yang-Mills . El papel de las métricas de curvatura escalar constante lo desempeñan ciertos minimizadores absolutos de las conexiones duales anti-autofuncionales de Yang-Mills o las conexiones hermitianas de Yang-Mills .

En algunas circunstancias, es posible que no existan métricas de Kähler de curvatura escalar constante en una variedad Kähler compacta, pero aún pueden existir métricas extremas. Por ejemplo, algunas variedades pueden admitir solitones de Kähler-Ricci, que son ejemplos de métricas extremas de Kähler, y se pueden construir métricas extremas explícitas en el caso de superficies. ^[3]

Los minimizadores absolutos del funcional de Calabi, las métricas de curvatura escalar constante, pueden caracterizarse alternativamente como los puntos críticos de otro funcional, el funcional de Mabuchi . Esta perspectiva variacional alternativa sobre métricas de curvatura escalar constante tiene mejores propiedades formales que la funcional de Calabi, debido a su relación con los mapas de momentos en el espacio de las métricas de Kähler.

Potenciales de holomorfia

Existe una caracterización alternativa de los puntos críticos del funcional de Calabi en términos de los llamados potenciales de holomorfia. ^{[2] [4]} Los potenciales de holomorfia son ciertas funciones suaves en una variedad de Kähler compacta cuyo flujo hamiltoniano genera automorfismos de la variedad de Kähler. En otras palabras, sus campos vectoriales gradientes son holomorfos.

Un potencial de holomorfia es una función de valor complejo tal que el campo vectorial definido por es un campo vectorial holomorfo , donde está la métrica de Riemann asociada a la forma de Kähler, y la suma aquí se toma con la notación de suma de Einstein . El espacio vectorial de potenciales de holomorfismo, denotado por , puede identificarse con el álgebra de Lie del grupo de automorfismos de la variedad de Kähler . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi ^{j}=g^{j{\bar {k}}}\partial _{\bar {k}}f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$

Una métrica de Kähler es extrema, un minimizador del funcional de Calabi, si y sólo si la curvatura escalar es un potencial de holomorfia. Si la curvatura escalar es constante, por lo que es cscK, entonces el potencial de holomorfia asociado es una función constante y el campo vectorial holomórfico inducido es el campo vectorial cero. En particular, en una variedad de Kähler que no admite campos vectoriales holomorfos distintos de cero, los únicos potenciales de holomorfia son funciones constantes y cada métrica extrema es una métrica de Kähler de curvatura escalar constante. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle S(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

La existencia de métricas de curvatura constante está íntimamente ligada a las obstrucciones que surgen de los campos vectoriales holomórficos, lo que conduce al invariante de Futaki y a la estabilidad K. Esta teoría está bien estudiada para el caso específico de las métricas de Kähler-Einstein .

Ver también

• mabuchi funcional
• Métrica de Kähler-Einstein

Referencias

• Biquard, Olivier (2006), "Métriques kählériennes à courbure scalaire constante: unicité, stabilité", Astérisque , Séminaire Bourbaki. vol. Exp. 2004/2005. Núm. 938 (307): 1–31, ISSN  0303-1179, SEÑOR  2296414
• Donaldson, SK (2001), "Curvatura escalar e incrustaciones proyectivas. I", Journal of Differential Geometry , 59 (3): 479–522, ISSN  0022-040X, MR  1916953
• Donaldson, SK (2002), "Curvatura escalar y estabilidad de variedades tóricas", Journal of Differential Geometry , 62 (2): 289–349, ISSN  0022-040X, MR  1988506

1. Calabi, E., 1982. MÉTRICAS EXTREMAS DE KAHLER. En SEMINARIO DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL (p. 259).
2. Székelyhidi, G., 2014. Introducción a las métricas extremas de Kahler (Vol. 152). Sociedad Matemática Estadounidense.
3. Tønnesen-Friedman, Christina Wiis (1998), "Métricas extremas de Kähler en superficies regladas mínimas", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 502 : 175–197, doi :10.1515/crll.1998.086, MR  1647571
4. Gauduchon, Paul. 2014. Métricas extremas de Kähler de Calabi: una introducción elemental