Cardenal extensible

En matemáticas , los cardinales extensibles son cardinales grandes introducidos por Reinhardt (1974), quien fue motivado en parte por principios de reflexión . Intuitivamente, tal cardinal representa un punto más allá del cual las piezas iniciales del universo de conjuntos comienzan a parecer similares, en el sentido de que cada una es elementalmente integrable en una posterior.

Definición

Para cada ordinal η , un cardinal κ se llama η-extensible si para algún ordinal λ hay una incrustación elemental no trivial j de V _κ+η en V _λ , donde κ es el punto crítico de j , y como de costumbre V _α denota el α- ésimo nivel de la jerarquía de von Neumann . Un cardinal κ se llama cardinal extensible si es η -extensible para cada ordinal η distinto de cero (Kanamori 2003).

Propiedades

Para un cardinal , digamos que una lógica es compacta si para cada conjunto de oraciones, si cada subconjunto de o cardinalidad tiene un modelo, entonces tiene un modelo. (El teorema de compacidad habitual muestra la compacidad de la lógica de primer orden). Sea la lógica infinitaria para la teoría de conjuntos de segundo orden, que permite conjunciones y disyunciones infinitas de longitud . es extensible si yff es compacto. ^[1] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle L_{\kappa }^{2}}$ ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle L_{\kappa }^{2}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Variantes y relación con otros cardenales

Un cardinal κ se llama η-C ⁽ⁿ⁾ -extensible si hay una incrustación elemental j que atestigua que κ es η -extensible (es decir, j es elemental desde V _κ+η hasta algún V _λ con punto crítico κ ) tal que además, V _j(κ) es Σ _n -correcto en V . Es decir, para cada Σ n _fórmula φ , φ se cumple en V _j(κ) si y sólo si φ se cumple en V. Se dice que un cardinal κ es C ⁽ⁿ⁾ -extensible si es η-C ⁽ⁿ⁾ -extensible para todo ordinal η . Cada cardinal extensible es C ⁽¹⁾ -extensible, pero para n≥1 , el cardenal menos C ⁽ⁿ⁾ -extensible nunca es C ⁽ⁿ⁺¹⁾ -extensible (Bagaria 2011).

El principio de Vopěnka implica la existencia de cardenales extensibles; de hecho, el principio de Vopěnka (para clases definibles) es equivalente a la existencia de C ⁽ⁿ⁾ -cardinales extensibles para todos n (Bagaria 2011). Todos los cardenales extensibles son cardenales supercompactos (Kanamori 2003).

Ver también

• Lista de grandes propiedades cardinales
• cardenal reinhardt

Referencias

1. Magidor, M. (1971). "Sobre el papel de los cardinales supercompactos y extensibles en la lógica". Revista Israelí de Matemáticas . 10 (2): 147-157. doi : 10.1007/BF02771565 .

• Bagaria, Joan (23 de diciembre de 2011). " C ⁽ⁿ⁾ -cardenales". Archivo de Lógica Matemática . 51 (3–4): 213–240. doi :10.1007/s00153-011-0261-8. S2CID  208867731.
• Friedman, Harvey . "Restricciones y Extensiones" (PDF) .
• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.
• Reinhardt, WN (1974), "Observaciones sobre principios de reflexión, cardinales grandes e incrustaciones elementales", Teoría de conjuntos axiomática , Proc. Simposios. Matemáticas puras, vol. XIII, Parte II, Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., págs. 189–205, SEÑOR  0401475