Etender

Medida de la "propagación" de la luz en un sistema óptico

Conservación de etendue

Etendue o étendue ( / ˌ eɪ t ɒ n ˈ d uː / ; pronunciación francesa: [etɑ̃dy] ) es una propiedad de la luz en un sistema óptico , que caracteriza cuán "dispersa" está la luz en área y ángulo. Corresponde al producto de parámetros del haz (BPP) en la óptica de haz gaussiano . Otros nombres para etendue incluyen aceptación , rendimiento , captación de luz , potencia de captación de luz , extensión óptica , ^[1] y el producto AΩ . El rendimiento y el producto AΩ se utilizan especialmente en radiometría y transferencia radiativa donde se relacionan con el factor de visión (o factor de forma). Es un concepto central en la óptica no relacionada con la formación de imágenes . ^{[2] [ página necesaria ] [3] [ página necesaria ] [4] [ página necesaria ]}

Desde el punto de vista de la fuente, la etendue es el producto del área de la fuente y el ángulo sólido que subtiende la pupila de entrada del sistema visto desde la fuente. De manera equivalente, desde el punto de vista del sistema, la etendue es igual al área de la pupila de entrada multiplicada por el ángulo sólido que subtiende la fuente visto desde la pupila. Estas definiciones deben aplicarse para "elementos" infinitesimalmente pequeños de área y ángulo sólido, que luego deben sumarse tanto sobre la fuente como sobre el diafragma como se muestra a continuación. La etendue puede considerarse un volumen en el espacio de fases .

La etendue nunca disminuye en ningún sistema óptico donde se conserva la potencia óptica. ^[5] Un sistema óptico perfecto produce una imagen con la misma etendue que la fuente. La etendue está relacionada con el invariante de Lagrange y el invariante óptico , que comparten la propiedad de ser constantes en un sistema óptico ideal. La radiancia de un sistema óptico es igual a la derivada del flujo radiante con respecto a la etendue.

Definición

Etendue para un elemento de superficie diferencial en 2D (izquierda) y 3D (derecha).

Un elemento de superficie infinitesimal, d S , con normal n _S está inmerso en un medio de índice de refracción n . La superficie es atravesada por (o emite) luz confinada en un ángulo sólido, d Ω , en un ángulo θ con la normal n _S . El área de d S proyectada en la dirección de propagación de la luz es d S cos θ . La etendue de un haz infinitesimal de luz que atraviesa d S se define como

$${\displaystyle \mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega \,.}$$

La etendue es el producto de la extensión geométrica y el índice de refracción al cuadrado de un medio a través del cual se propaga el haz. ^[1] Debido a que los ángulos, los ángulos sólidos y los índices de refracción son cantidades adimensionales , la etendue a menudo se expresa en unidades de área (dada por d S ). Sin embargo, alternativamente se puede expresar en unidades de área (metros cuadrados) multiplicado por el ángulo sólido (estereorradianes). ^{[1] [6]}

En el espacio libre

Etendue en el espacio libre.

Consideremos una fuente de luz Σ y un detector de luz S , ambos superficies extendidas (en lugar de elementos diferenciales) y que están separados por un medio de índice de refracción n que es perfectamente transparente (mostrado). Para calcular la extensión del sistema, se debe considerar la contribución de cada punto en la superficie de la fuente de luz a medida que emiten rayos a cada punto en el receptor. ^{[7] [ se necesita una mejor fuente ]}

Según la definición anterior, la etensión de la luz que cruza dΣ hacia d S viene dada por:

$${\displaystyle \mathrm {d} G_{\Sigma }=n^{2}\,\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n^{2}\,\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }{\frac {\mathrm {d} S\cos \theta _{S}}{d^{2}}}\,,}$$

donde d Ω _Σ es el ángulo sólido definido por el área d S en el área dΣ , y d es la distancia entre las dos áreas. De manera similar, la etensión de la luz que cruza d S viniendo de dΣ está dada por:

$${\displaystyle \mathrm {d} G_{S}=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}{\frac {\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }}{d^{2}}}\,,}$$

donde d Ω _S es el ángulo sólido definido por el área dΣ . Estas expresiones dan como resultado

$${\displaystyle \mathrm {d} G_{\Sigma }=\mathrm {d} G_{S}\,,}$$

mostrando que la etendue se conserva a medida que la luz se propaga en el espacio libre.

La conclusión de todo el sistema es entonces:

$${\displaystyle G=\int _{\Sigma }\!\int _{S}\mathrm {d} G\,.}$$

Si ambas superficies dΣ y d S están sumergidas en el aire (o en el vacío), n = 1 y la expresión anterior para la extensión puede escribirse como

$${\displaystyle \mathrm {d} G=\mathrm {d} \Sigma \,\cos \theta _{\Sigma }\,{\frac {\mathrm {d} S\,\cos \theta _{S}}{d^{2}}}=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,\left({\frac {\cos \theta _{\Sigma }\cos \theta _{S}}{\pi d^{2}}}\,\mathrm {d} S\right)=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,F_{\mathrm {d} \Sigma \rightarrow \mathrm {d} S}\,,}$$

donde F _{dΣ→d S} es el factor de vista entre superficies diferenciales dΣ y d S . La integración en dΣ y d S da como resultado G = π Σ F _{Σ→ S} que permite obtener la etendue entre dos superficies a partir de los factores de vista entre esas superficies, como se proporciona en una lista de factores de vista para casos de geometría específicos o en varios libros de texto de transferencia de calor .

Conservación

La etendue de un haz de luz dado se conserva: la etendue puede aumentar, pero no disminuir, en cualquier sistema óptico. Esto significa que cualquier sistema que concentre la luz de alguna fuente en un área más pequeña siempre debe aumentar el ángulo sólido de incidencia (es decir, el área del cielo que la fuente subtiende). Por ejemplo, una lupa puede aumentar la intensidad de la luz solar en un punto pequeño, pero lo hace porque, visto desde el punto en el que se concentra la luz, el tamaño aparente del sol aumenta proporcionalmente a la concentración.

Como se muestra a continuación, la etendue se conserva cuando la luz viaja a través del espacio libre y en refracciones o reflexiones. Luego también se conserva cuando la luz viaja a través de sistemas ópticos donde experimenta reflexiones o refracciones perfectas. Sin embargo, si la luz incidiese, por ejemplo, en un difusor , su ángulo sólido aumentaría, lo que aumentaría la etendue. La etendue puede entonces permanecer constante o puede aumentar a medida que la luz se propaga a través de una óptica, pero no puede disminuir. Esto es un resultado directo del hecho de que la entropía debe ser constante o creciente.

La conservación de la etendue se puede derivar en diferentes contextos, como por ejemplo de los primeros principios ópticos, de la óptica hamiltoniana o de la segunda ley de la termodinámica . ^{[2] [ página necesaria ]}

Desde la perspectiva de la termodinámica, la etendencia es una forma de entropía. En concreto, la etendencia de un haz de luz contribuye a su entropía en . La etendencia puede disminuir exponencialmente si aumenta la entropía en otro lugar. Por ejemplo, un material puede absorber fotones y emitir fotones de menor frecuencia, y emitir la diferencia de energía en forma de calor. Esto aumenta la entropía debido al calor, lo que permite una disminución correspondiente de la etendencia. ^{[8] [9]} ${\displaystyle S_{etendue}=k_{B}\ln \Omega }$

La conservación de la etendue en el espacio libre está relacionada con el teorema de reciprocidad para factores de vista .

En refracciones y reflexiones

Etendue en refracción.

La conservación de la etendue discutida anteriormente se aplica al caso de propagación de la luz en el espacio libre, o más generalmente, en un medio de cualquier índice de refracción . En particular, la etendue se conserva en refracciones y reflexiones. ^{[2] [ página necesaria ]} La figura "etendue en refracción" muestra una superficie infinitesimal d S en el plano xy que separa dos medios de índices de refracción n _Σ y n _S .

La normal a d S apunta en la dirección del eje z . La luz entrante está confinada en un ángulo sólido d Ω _Σ y llega a d S en un ángulo θ _Σ con su normal. La luz refractada está confinada en un ángulo sólido d Ω _S y sale de d S en un ángulo θ _S con su normal. Las direcciones de la luz entrante y refractada están contenidas en un plano que forma un ángulo φ con el eje x , definiendo estas direcciones en un sistema de coordenadas esféricas . Con estas definiciones, la ley de refracción de Snell se puede escribir como

$${\displaystyle n_{\Sigma }\sin \theta _{\Sigma }=n_{S}\sin \theta _{S}\,,}$$

y su derivada relativa a θ

$${\displaystyle n_{\Sigma }\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \theta _{\Sigma }=n_{S}\cos \theta _{S}\mathrm {d} \theta _{S}\,,}$$

multiplicados entre sí dan como resultado

$${\displaystyle n_{\Sigma }^{2}\cos \theta _{\Sigma }\!\left(\sin \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \varphi \right)=n_{S}^{2}\cos \theta _{S}\!\left(\sin \theta _{S}\,\mathrm {d} \theta _{S}\,\mathrm {d} \varphi \right)\,,}$$

donde ambos lados de la ecuación también se multiplicaron por d φ que no cambia con la refracción. Esta expresión ahora se puede escribir como

$${\displaystyle n_{\Sigma }^{2}\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n_{S}^{2}\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}\,.}$$

Multiplicando ambos lados por d S obtenemos

$${\displaystyle n_{\Sigma }^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n_{S}^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}\,;}$$

eso es

$${\displaystyle \mathrm {d} G_{\Sigma }=\mathrm {d} G_{S}\,,}$$

demostrando que la etensión de la luz refractada en d S se conserva. El mismo resultado es válido también para el caso de una reflexión en una superficie d S , en cuyo caso n _Σ = n _S y θ _Σ = θ _S .

Teorema de brillo

Una consecuencia de la conservación de la etendue es el teorema de brillo , que establece que ningún sistema óptico lineal puede aumentar el brillo de la luz emitida desde una fuente a un valor mayor que el brillo de la superficie de esa fuente (donde "brillo" se define como la potencia óptica emitida por unidad de ángulo sólido por unidad de área emisora ​​o receptora). ^[10]

Conservación de la radiancia básica

La radiancia de una superficie está relacionada con la etendue por:

$${\displaystyle L_{\mathrm {e} ,\Omega }=n^{2}{\frac {\partial \Phi _{\mathrm {e} }}{\partial G}}\,,}$$

dónde

• Φ _e es el flujo radiante emitido, reflejado, transmitido o recibido;
• n es el índice de refracción en el que está inmersa dicha superficie;
• G es la extensión del haz de luz.

A medida que la luz viaja a través de un sistema óptico ideal, tanto la etendencia como el flujo radiante se conservan. Por lo tanto, la radiancia básica se define como: ^{[11] [ página necesaria ]}

$${\displaystyle L_{\mathrm {e} ,\Omega }^{*}={\frac {L_{\mathrm {e} ,\Omega }}{n^{2}}}}$$

También se conserva. En sistemas reales, la etendue puede aumentar (por ejemplo, debido a la dispersión) o el flujo radiante puede disminuir (por ejemplo, debido a la absorción) y, por lo tanto, la radiancia básica puede disminuir. Sin embargo, la etendue puede no disminuir y el flujo radiante puede no aumentar y, por lo tanto, la radiancia básica puede no aumentar.

Como un volumen en el espacio de fases

Momento óptico.

En el contexto de la óptica hamiltoniana , en un punto del espacio, un rayo de luz puede definirse completamente por un punto r = ( x , y , z ) , un vector euclidiano unitario v = (cos α _X , cos α _Y , cos α _Z ) que indica su dirección y el índice de refracción n en el punto r . El momento óptico del rayo en ese punto se define por

$${\displaystyle \mathbf {p} =n(\cos \alpha _{X},\cos \alpha _{Y},\cos \alpha _{Z})=(p,q,r)\,,}$$

donde ‖ p ‖ = n . La geometría del vector de momento óptico se ilustra en la figura "momento óptico".

En un sistema de coordenadas esféricas p puede escribirse como

$${\displaystyle \mathbf {p} =n\!\left(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right)\,,}$$

De donde

$${\displaystyle \mathrm {d} p\,\mathrm {d} q={\frac {\partial (p,q)}{\partial (\theta ,\varphi )}}\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left({\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\frac {\partial q}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial p}{\partial \varphi }}{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right)\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =n^{2}\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =n^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega \,,}$$

y por lo tanto, para un área infinitesimal d S = d x d y en el plano xy inmerso en un medio de índice de refracción n , la etendue está dada por

$${\displaystyle \mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} p\,\mathrm {d} q\,,}$$

que es un volumen infinitesimal en el espacio de fases x , y , p , q . La conservación de la etendue en el espacio de fases es el equivalente en óptica al teorema de Liouville en mecánica clásica. ^{[2] [ página necesaria ]} La etendue como volumen en el espacio de fases se utiliza comúnmente en óptica sin formación de imágenes .

Concentración máxima

Etendue para un ángulo sólido grande.

Considérese una superficie infinitesimal d S , inmersa en un medio de índice de refracción n atravesado por (o que emite) luz dentro de un cono de ángulo α . La etensión de esta luz está dada por

$${\displaystyle \mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\int \cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =n^{2}\mathrm {d} S\int _{0}^{2\pi }\!\int _{0}^{\alpha }\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\pi n^{2}\mathrm {d} S\sin ^{2}\alpha \,.}$$

Observando que n sen α es la apertura numérica NA del haz de luz, esto también se puede expresar como

$${\displaystyle \mathrm {d} G=\pi \,\mathrm {d} S\,\mathrm {NA} ^{2}\,.}$$

Nótese que dΩ se expresa en un sistema de coordenadas esféricas . Ahora bien, si una superficie grande S es atravesada por (o emite) luz también confinada en un cono de ángulo α , la extensión de la luz que atraviesa S es

$${\displaystyle G=\pi n^{2}\sin ^{2}\alpha \int \mathrm {d} S=\pi n^{2}S\sin ^{2}\alpha =\pi S\,\mathrm {NA} ^{2}\,.}$$

Etendue y concentración ideal.

El límite de concentración máxima (mostrado) es una óptica con una abertura de entrada S , en el aire ( n _i = 1 ) que recoge la luz dentro de un ángulo sólido de ángulo 2 α (su ángulo de aceptación ) y la envía a un receptor de área más pequeña Σ inmerso en un medio de índice de refracción n , cuyos puntos están iluminados dentro de un ángulo sólido de ángulo 2 β . A partir de la expresión anterior, la etendue de la luz entrante es

$${\displaystyle G_{\mathrm {i} }=\pi S\sin ^{2}\alpha }$$

y la extensión de la luz que llega al receptor es

$${\displaystyle G_{\mathrm {r} }=\pi n^{2}\Sigma \sin ^{2}\beta \,.}$$

La conservación de la extensión G _i = G _r da entonces

$${\displaystyle C={\frac {S}{\Sigma }}=n^{2}{\frac {\sin ^{2}\beta }{\sin ^{2}\alpha }}\,,}$$

donde C es la concentración de la óptica. Para una apertura angular dada α de la luz entrante, esta concentración será máxima para el valor máximo de sen β , es decir β = π /2 . La concentración máxima posible es entonces ^{[2] [ página necesaria ] [3]}

$${\displaystyle C_{\mathrm {max} }={\frac {n^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}\,.}$$

En el caso de que el índice de incidencia no sea la unidad, tenemos

$${\displaystyle G_{\mathrm {i} }=\pi n_{\mathrm {i} }S\sin ^{2}\alpha =G_{\mathrm {r} }=\pi n_{\mathrm {r} }\Sigma \sin ^{2}\beta \,,}$$

y entonces

$${\displaystyle C=\left({\frac {\mathrm {NA} _{\mathrm {r} }}{\mathrm {NA} _{\mathrm {i} }}}\right)^{2}\,,}$$

y en el límite del mejor caso de β = π /2 , esto se convierte en

$${\displaystyle C_{\mathrm {max} }={\frac {n_{\mathrm {r} }^{2}}{\mathrm {NA} _{\mathrm {i} }^{2}}}\,.}$$

Si la óptica fuera un colimador en lugar de un concentrador, la dirección de la luz se invierte y la conservación de la amplitud nos da la apertura mínima, S , para un ángulo completo de salida dado 2 α .

Véase también

• Emitancia del haz
• Producto de parámetros de haz
• Campo de luz
• Teorema de Noether
• Geometría simpléctica

Referencias

1. "Extensión óptica / Etendue". CIE e-ILV: Vocabulario internacional de iluminación (2.ª ed.). Comisión Internacional de Iluminación . 17-21-048 . Consultado el 19 de febrero de 2022 .
2. Chaves, Julio (2015). Introducción a la óptica sin imágenes (2.ª ed.). CRC Press . ISBN 978-1482206739.
3. Winston, Roland; Minano, Juan C.; Benítez, Pablo G. (2004). Óptica sin imágenes . Academic Press. ISBN 978-0127597515.
4. Brennesholtz, Matthew S.; Stupp, Edward H. (2008). Pantallas de proyección . John Wiley & Sons. ISBN 978-0470518038.
5. "Óptica básica: resplandor" (PDF) (Apuntes de clase). Astronomía 525. Facultad de San Benito y Universidad de San Juan.
6. Bureau International des Poids et Mesures (2019). Folleto del Sistema Internacional de Unidades (SI) (novena edición). Oficina Internacional de Pesas y Medidas . ISBN 978-92-822-2272-0.
7. "Photométrie / Notion d'étendue géométrique" [Fotometría / Noción de extensión geométrica]. Photographie [ Fotografía ] (en francés). Wikilibros . Consultado el 27 de enero de 2009 .
8. Winston, Roland; Wang, Chunhua; Zhang, Weiya (20 de agosto de 2009). Winston, Roland; Gordon, Jeffrey M. (eds.). "Superando el teorema óptico de Liouville: ¿cómo conoce la óptica geométrica la segunda ley de la termodinámica?": 742309. doi :10.1117/12.836029. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
9. Markvart, T (1 de enero de 2008). "La termodinámica de la étendue óptica". Journal of Optics A: Pure and Applied Optics . 10 (1): 015008. doi :10.1088/1464-4258/10/01/015008. ISSN  1464-4258.
10. Quimby, RS (17 de marzo de 2006). "Apéndice A: Ángulo sólido y teorema de brillo". Fotónica y láseres: una introducción . Biblioteca científica Wiley. págs. 495–498. doi :10.1002/0471791598.app1. ISBN. 9780471719748. Recuperado el 13 de septiembre de 2022 .
11. McCluney, William Ross (1994). Introducción a la radiometría y la fotometría . Boston: Artech House. ISBN 978-0890066782.

Lectura adicional

• Greivenkamp, ​​John E. (2004). Guía de campo de la óptica geométrica . Guías de campo del SPIE. Vol. FG01. SPIE. ISBN 0-8194-5294-7.
• Munroe, Randall (nd). "Fuego a la luz de la luna". ¿Y si... ? Archivado desde el original el 6 de agosto de 2023. Consultado el 28 de julio de 2020 . xkcd –el autor Randall Munroe explica por qué es imposible encender un fuego con la luz de la luna concentrada utilizando un argumento de conservación de la energía.
• Sun, Xutao; Zheng, Zhenrong; Liu, Xu; Gu, Peifu (marzo de 2006). "Análisis de etensión y medición de fuente de luz con reflector elíptico". Displays . 27 (2): 56–61.