Extensión lineal continua

Método matemático en análisis funcional.

En el análisis funcional , a menudo es conveniente definir una transformación lineal en un espacio vectorial normado completo definiendo primero una transformación lineal en un subconjunto denso y luego extendiéndola continuamente a todo el espacio mediante el teorema siguiente. La extensión resultante permanece lineal y acotada , y por tanto es continua , lo que la convierte en una extensión lineal continua . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$

Este procedimiento se conoce como extensión lineal continua .

Teorema

Cada transformación lineal acotada de un espacio vectorial normado a un espacio vectorial normado completo puede extenderse de forma única a una transformación lineal acotada desde la finalización de hasta Además, la norma del operador de es si y sólo si la norma de es ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\widehat {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\widehat {L}}}$ ${\displaystyle c.}$

Este teorema a veces se denomina teorema BLT .

Solicitud

Considere, por ejemplo, la definición de la integral de Riemann . Una función escalonada en un intervalo cerrado es una función de la forma: donde están los números reales y denota la función indicadora del conjunto. El espacio de todas las funciones escalonadas normadas por la norma (ver espacio Lp ), es un espacio vectorial normado que denotamos por Definir la integral de una función escalonada por: ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f\equiv r_{1}\mathbf {1} _{[a,x_{1})}+r_{2}\mathbf {1} _{[x_{1},x_{2})}+\cdots +r_{n}\mathbf {1} _{[x_{n-1},b]}}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$ ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{S}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

$${\displaystyle I\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}\mathbf {1} _{[x_{i-1},x_{i})}\right)=\sum _{i=1}^{n}r_{i}(x_{i}-x_{i-1}).}$$

${\displaystyle I}$^[1] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Denotemos el espacio de funciones continuas acotadas y por partes que son continuas desde la derecha, junto con la norma. El espacio es denso, por lo que podemos aplicar el teorema BLT para extender la transformación lineal a una transformación lineal acotada desde a. Esto define la integral de Riemann de todas las funciones en ; para cada ${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {PC}},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\widehat {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {PC}},}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx={\widehat {I}}(f).}$

El teorema de Hahn-Banach

El teorema anterior se puede utilizar para extender una transformación lineal acotada a una transformación lineal acotada desde a si es denso en Si no es denso en entonces, a veces se puede utilizar el teorema de Hahn-Banach para demostrar que existe una extensión . Sin embargo, es posible que la extensión no sea única. ${\displaystyle T:S\to Y}$ ${\displaystyle {\bar {S}}=X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$

Ver también

• Teorema de gráfico cerrado (análisis funcional)  : teoremas que conectan la continuidad con el cierre de gráficos
• Operador lineal continuo
• Operador densamente definido  : función que se define en casi todas partes (matemáticas)
• Teorema de Hahn-Banach  : teorema sobre la extensión de funcionales lineales acotados
• Extensión lineal (álgebra lineal)  – Función matemática, en álgebra linealPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función parcial  : función cuyo dominio real de definición puede ser menor que su dominio aparente
• Teoremas de Hahn-Banach con valores vectoriales

Referencias

1. Aquí también hay un espacio vectorial normado; es un espacio vectorial porque satisface todos los axiomas del espacio vectorial y está normado por la función de valor absoluto . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Caña, Michael; Barry Simon (1980). Métodos de la física matemática moderna, vol. 1: Análisis funcional . San Diego: Prensa académica. ISBN 0-12-585050-6.