En matemáticas , una expresión o expresión matemática es una combinación finita de símbolos que está bien formada según reglas que dependen del contexto. Los símbolos matemáticos pueden designar números ( constantes ), variables , operaciones , funciones , corchetes , puntuación y agrupaciones para ayudar a determinar el orden de las operaciones y otros aspectos de la sintaxis lógica .
Muchos autores distinguen una expresión de una fórmula , denotando la primera un objeto matemático y la segunda un enunciado sobre objetos matemáticos. [ cita necesaria ] Por ejemplo, es una expresión, mientras que es una fórmula. Sin embargo, en las matemáticas modernas, y en particular en el álgebra informática , las fórmulas se consideran expresiones que pueden evaluarse como verdaderas o falsas , dependiendo de los valores que se dan a las variables que aparecen en las expresiones. Por ejemplo, toma el valor falso si a x se le da un valor menor que –1 y el valor verdadero en caso contrario.
El uso de expresiones va desde lo simple:
al complejo:
Muchas expresiones matemáticas incluyen variables . Cualquier variable se puede clasificar como variable libre o variable ligada .
Para una combinación dada de valores de las variables libres, se puede evaluar una expresión, aunque para algunas combinaciones de valores de las variables libres, el valor de la expresión puede no estar definido. Así, una expresión representa una función cuyas entradas son los valores asignados a las variables libres y cuya salida es el valor resultante de la expresión.
Por ejemplo, si la expresión se evalúa con x = 10, y = 5 , se evalúa como 2; esto se denota
La evaluación no está definida para y = 0.
Se dice que dos expresiones son equivalentes si, para cada combinación de valores de las variables libres, tienen el mismo resultado, es decir, representan la misma función.
Por ejemplo, en la expresión
la variable n está ligada y la variable x es libre. Esta expresión es equivalente a la expresión más simple 12 x . El valor de x = 3 es 36, que se puede denotar
Una expresión es una construcción sintáctica. Debe estar bien formado : los operadores permitidos deben tener el número correcto de entradas en los lugares correctos, los caracteres que componen estas entradas deben ser válidos, tener un orden claro de operaciones , etc. Cadenas de símbolos que violan las reglas de La sintaxis no está bien formada y no son expresiones matemáticas válidas.
Por ejemplo, en la notación habitual de la aritmética , la expresión 1 + 2 × 3 está bien formada, pero la siguiente expresión no lo está:
La semántica es el estudio del significado. La semántica formal consiste en dar significado a las expresiones.
En álgebra , se puede utilizar una expresión para designar un valor, que podría depender de los valores asignados a las variables que aparecen en la expresión. La determinación de este valor depende de la semántica adjunta a los símbolos de la expresión. La elección de la semántica depende del contexto de la expresión. La misma expresión sintáctica 1 + 2 × 3 puede tener diferentes valores (matemáticamente 7, pero también 9), dependiendo del orden de las operaciones implicado por el contexto (Ver también Operaciones § Calculadoras ).
Las reglas semánticas pueden declarar que ciertas expresiones no designan ningún valor (por ejemplo cuando implican división por 0); Se dice que tales expresiones tienen un valor indefinido, pero de todos modos son expresiones bien formadas. En general el significado de las expresiones no se limita a designar valores; por ejemplo, una expresión puede designar una condición o una ecuación que debe resolverse, o puede verse como un objeto en sí mismo que puede manipularse de acuerdo con ciertas reglas. Ciertas expresiones que designan un valor expresan simultáneamente una condición que se supone que se cumple, por ejemplo aquellas que involucran al operador para designar una suma directa interna .
Los lenguajes formales permiten formalizar el concepto de expresiones bien formadas.
En la década de 1930, Alonzo Church y Stephen Kleene introdujeron un nuevo tipo de expresiones, llamadas expresiones lambda , para formalizar funciones y su evaluación. Forman la base del cálculo lambda , un sistema formal utilizado en lógica matemática y la teoría de los lenguajes de programación .
La equivalencia de dos expresiones lambda es indecidible . Este es también el caso de las expresiones que representan números reales, que se construyen a partir de números enteros utilizando las operaciones aritméticas, el logaritmo y la exponencial ( teorema de Richardson ).
