El método de exhaustación ( del latín methodus exhaustionis ) es un método para hallar el área de una figura inscribiendo en su interior una secuencia de polígonos cuyas áreas convergen al área de la figura que la contiene . Si la secuencia está correctamente construida, la diferencia de área entre el n -ésimo polígono y la figura que la contiene será arbitrariamente pequeña a medida que n se haga grande. A medida que esta diferencia se vuelve arbitrariamente pequeña, los posibles valores para el área de la figura se "agotan" sistemáticamente por las áreas de límite inferior establecidas sucesivamente por los miembros de la secuencia.
El método de agotamiento requería típicamente una forma de prueba por contradicción , conocida como reductio ad absurdum . Esto equivale a encontrar el área de una región comparándola primero con el área de una segunda región, que puede "agotarse" de modo que su área se acerque arbitrariamente al área verdadera. La prueba implica suponer que el área verdadera es mayor que la segunda área, probar que esa afirmación es falsa, suponer que es menor que la segunda área, y luego probar que esa afirmación también es falsa.
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La idea se originó a finales del siglo V a. C. con Antifón , aunque no está del todo claro hasta qué punto la entendía. [1] La teoría fue rigurosa unas décadas más tarde por Eudoxo de Cnido , quien la utilizó para calcular áreas y volúmenes. Más tarde fue reinventada en China por Liu Hui en el siglo III d. C. con el fin de hallar el área de un círculo. [2] El primer uso del término fue en 1647 por Gregorio de San Vicente en Opus geométricaum quadraturae circuli et sectionum .
El método de exhaución se considera un precursor de los métodos de cálculo . El desarrollo de la geometría analítica y el cálculo integral riguroso en los siglos XVII-XIX absorbió el método de exhaución de modo que ya no se utiliza explícitamente para resolver problemas. Un enfoque alternativo importante fue el principio de Cavalieri , también denominado el método de los indivisibles , que finalmente evolucionó hasta convertirse en el cálculo infinitesimal de Roberval , Torricelli , Wallis , Leibniz y otros.
Euclides utilizó el método de extenuación para probar las siguientes seis proposiciones en el libro 12 de sus Elementos .
Proposición 2 : El área de los círculos es proporcional al cuadrado de sus diámetros. [3]
Proposición 5 : Los volúmenes de dos tetraedros de la misma altura son proporcionales a las áreas de sus bases triangulares. [4]
Proposición 10 : El volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro correspondiente que tiene la misma base y altura. [5]
Proposición 11 : El volumen de un cono (o cilindro) de la misma altura es proporcional al área de la base. [6]
Proposición 12: El volumen de un cono (o cilindro) semejante a otro es proporcional al cubo del cociente de los diámetros de las bases. [7]
Proposición 18 : El volumen de una esfera es proporcional al cubo de su diámetro. [8]
Arquímedes utilizó el método de exhaución como una forma de calcular el área dentro de un círculo rellenando el círculo con una secuencia de polígonos con un número creciente de lados y un aumento correspondiente en el área. Los cocientes formados por el área de estos polígonos divididos por el cuadrado del radio del círculo pueden hacerse arbitrariamente cercanos a π a medida que aumenta el número de lados del polígono, lo que demuestra que el área dentro del círculo de radio r es πr 2 , siendo π definido como la relación entre la circunferencia y el diámetro (C/d).
También proporcionó los límites 3 + 10 / 71 < π < 3 + 10 / 70 (dando un rango de 1 / 497 ) comparando los perímetros del círculo con los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos de 96 lados.
Otros resultados que obtuvo con el método de agotamiento incluyeron [9]