Unitaridad (física)

Requisito de que los operadores de evolución temporal de los estados cuánticos sean transformaciones unitarias

En física cuántica , la unitaridad es (o un proceso unitario tiene) la condición de que la evolución temporal de un estado cuántico según la ecuación de Schrödinger se represente matemáticamente mediante un operador unitario . Esto se toma típicamente como un axioma o postulado básico de la mecánica cuántica, mientras que las generalizaciones o desviaciones de la unitaridad son parte de especulaciones sobre teorías que pueden ir más allá de la mecánica cuántica. ^[1] Un límite de unitaridad es cualquier desigualdad que se sigue de la unitaridad del operador de evolución , es decir, de la afirmación de que la evolución temporal preserva los productos internos en el espacio de Hilbert .

Evolución hamiltoniana

La evolución temporal descrita por un hamiltoniano independiente del tiempo está representada por una familia de operadores unitarios de un parámetro , para los cuales el hamiltoniano es un generador: . En la imagen de Schrödinger , se considera que los operadores unitarios actúan sobre el estado cuántico del sistema, mientras que en la imagen de Heisenberg , la dependencia del tiempo se incorpora a los observables . ^[2] ${\displaystyle U(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

Implicaciones de la unitaridad en los resultados de las mediciones

En mecánica cuántica, cada estado se describe como un vector en el espacio de Hilbert . Cuando se realiza una medición, es conveniente describir este espacio utilizando una base vectorial en la que cada vector base tiene un resultado definido de la medición, por ejemplo, una base vectorial de momento definido en caso de que se mida el momento. El operador de medición es diagonal en esta base. ^[3]

La probabilidad de obtener un resultado medido particular depende de la amplitud de probabilidad, dada por el producto interno del estado físico con los vectores base que diagonalizan el operador de medición. Para un estado físico que se mide después de que ha evolucionado en el tiempo, la amplitud de probabilidad puede describirse ya sea por el producto interno del estado físico después de la evolución temporal con los vectores base relevantes, o equivalentemente por el producto interno del estado físico con los vectores base que evolucionan hacia atrás en el tiempo. Usando el operador de evolución temporal , tenemos: ^[4] ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.e^{-i{\hat {H}}(-t)/\hbar }\phi _{i}\right|\psi \right\rangle }$

Pero por definición de conjugación hermítica , esto también es:

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}\left(e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\right)^{\dagger }\right|\psi \right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}e^{-i{\hat {H}}^{\dagger }(-t)/\hbar }\right|\psi \right\rangle }$

Como estas igualdades son verdaderas para cada dos vectores, obtenemos

${\displaystyle {\hat {H}}^{\dagger }={\hat {H}}}$

Esto significa que el hamiltoniano es hermítico y el operador de evolución temporal es unitario . ${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

Dado que la regla de Born determina la probabilidad de obtener un resultado particular en una medición, la unitaridad junto con la regla de Born garantiza que la suma de probabilidades sea siempre uno. Además, la unitaridad junto con la regla de Born implica que los operadores de medición en la imagen de Heisenberg describen de hecho cómo se espera que evolucionen los resultados de la medición en el tiempo.

Implicaciones sobre la forma del hamiltoniano

Que el operador de evolución temporal sea unitario es equivalente a que el hamiltoniano sea hermítico . De manera equivalente, esto significa que las posibles energías medidas, que son los valores propios del hamiltoniano, son siempre números reales.

Amplitud de dispersión y teorema óptico

La matriz S se utiliza para describir cómo cambia el sistema físico en un proceso de dispersión. De hecho, es igual al operador de evolución temporal durante un tiempo muy largo (que se acerca al infinito) que actúa sobre los estados de momento de las partículas (o complejos ligados de partículas) en el infinito. Por lo tanto, también debe ser un operador unitario; un cálculo que arroje una matriz S no unitaria a menudo implica que se ha pasado por alto un estado ligado.

Teorema óptico

La unitaridad de la matriz S implica, entre otras cosas, el teorema óptico . Esto se puede ver de la siguiente manera: ^[5]

La matriz S se puede escribir como:

${\displaystyle S=1+iT}$

¿Dónde está la parte de la matriz S que se debe a las interacciones? Por ejemplo, solo implica que la matriz S es 1, no ocurre ninguna interacción y todos los estados permanecen sin cambios. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=0}$

Unitaridad de la matriz S:

${\displaystyle S^{\dagger }S=1}$

es entonces equivalente a:

${\displaystyle -i\left(T-T^{\dagger }\right)=T^{\dagger }T}$

El lado izquierdo es el doble de la parte imaginaria de la matriz S. Para ver cuál es el lado derecho, observemos cualquier elemento específico de esta matriz, por ejemplo, entre un estado inicial y un estado final , cada uno de los cuales puede incluir muchas partículas. El elemento de la matriz es entonces: ${\displaystyle |I\rangle }$ ${\displaystyle \langle F|}$

${\displaystyle \left\langle F\left|T^{\dagger }T\right|I\right\rangle =\sum _{i}\left\langle F|T^{\dagger }|A_{i}\right\rangle \left\langle A_{i}|T|I\right\rangle }$

donde {A _i } es el conjunto de posibles estados dentro de la capa, es decir, estados de momento de partículas (o complejos ligados de partículas) en el infinito.

Por lo tanto, el doble de la parte imaginaria de la matriz S es igual a una suma que representa los productos de las contribuciones de todas las dispersiones del estado inicial de la matriz S a cualquier otro estado físico en el infinito, con las dispersiones de este último al estado final de la matriz S. Dado que la parte imaginaria de la matriz S puede calcularse mediante partículas virtuales que aparecen en estados intermedios de los diagramas de Feynman , se deduce que estas partículas virtuales solo deben consistir en partículas reales que también pueden aparecer como estados finales. La maquinaria matemática que se utiliza para garantizar esto incluye la simetría de calibre y, a veces, también los fantasmas de Faddeev-Popov .

Límites de unitaridad

Según el teorema óptico, la amplitud de probabilidad M (= iT) para cualquier proceso de dispersión debe obedecer

${\displaystyle |M|^{2}=2\operatorname {Im} (M)}$

Los límites de unitaridad similares implican que las amplitudes y la sección transversal no pueden aumentar demasiado con la energía o deben disminuir tan rápidamente como dicta una determinada fórmula ^{[ ¿cuál? ] . Por ejemplo,} el límite de Froissart dice que la sección transversal total de dos partículas que se dispersan está limitada por , donde es una constante y es el cuadrado de la energía del centro de masas. (Véase Variables de Mandelstam ) ${\displaystyle c\ln ^{2}s}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle s}$

Véase también

• Operador antiunitario
• La regla de Born
• Axiomas de probabilidad
• Canal cuántico
• Teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro
• Teorema de Wigner

Referencias

1. Ouellette, Jennifer . «Alice y Bob conocen el muro de fuego». Quanta Magazine . Consultado el 15 de junio de 2023 .
2. "Conferencia 5: evolución temporal" (PDF) . 22.51 Teoría cuántica de las interacciones de radiación . MIT OpenCourseWare . Consultado el 21 de agosto de 2019 .
3. Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloe, F. y Dui, B. (2006). Mecánica cuántica (juego de 2 vol.).
4. París, MG (2012). Las herramientas modernas de la mecánica cuántica. The European Physical Journal Special Topics, 203(1), 61-86.
5. Peskin, M. (2018). Introducción a la teoría cuántica de campos , cap. 7.3. CRC press.