Ley cero-uno de Kolmogorov

Caso especial en la teoría de la probabilidad; introduce eventos de cola

En teoría de probabilidad , la ley cero-uno de Kolmogorov , llamada así en honor a Andrey Nikolaevich Kolmogorov , especifica que un cierto tipo de evento , es decir, un evento de cola de σ-álgebras independientes , ocurrirá casi seguramente o casi seguramente no ocurrirá; es decir, la probabilidad de que tal evento ocurra es cero o uno.

Los eventos de cola se definen en términos de familias infinitas numerables de σ-álgebras. Para fines ilustrativos, presentamos aquí el caso especial en el que cada álgebra sigma es generada por una variable aleatoria para . Sea la álgebra sigma generada conjuntamente por todos los . Entonces, un evento de cola es un evento que es probabilísticamente independiente de cada subconjunto finito de estas variables aleatorias. (Nota: pertenecer a implica que la pertenencia a está determinada únicamente por los valores de , pero la última condición es estrictamente más débil y no basta para probar la ley cero-uno). Por ejemplo, el evento de que la secuencia de converge y el evento de que su suma converge son ambos eventos de cola. Si los son, por ejemplo, todos distribuidos según Bernoulli, entonces el evento de que haya infinitos tales que es un evento de cola. Si cada modelo modela el resultado del -ésimo lanzamiento de moneda en una secuencia infinita modelada de lanzamientos de moneda, esto significa que una secuencia de 100 caras consecutivas que ocurren infinitas veces es un evento de cola en este modelo. ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X_{k}=X_{k+1}=\dots =X_{k+100}=1}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Los eventos de cola son precisamente aquellos eventos cuya ocurrencia aún puede determinarse si se elimina un segmento inicial arbitrariamente grande pero finito. ${\displaystyle X_{k}}$

En muchas situaciones, puede ser fácil aplicar la ley cero-uno de Kolmogorov para demostrar que algún evento tiene probabilidad de 0 o 1, pero es sorprendentemente difícil determinar cuál de estos dos valores extremos es el correcto.

Formulación

Una formulación más general de la ley cero-uno de Kolmogorov se aplica a sucesiones de σ-álgebras independientes. Sea (Ω, F , P ) un espacio de probabilidad y sea F _n una sucesión de σ-álgebras contenidas en F . Sea

${\displaystyle G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}}$

sea ​​la σ-álgebra más pequeña que contiene F _n , F _{n +1} , .... La σ-álgebra terminal de F _n se define como . ${\displaystyle {\mathcal {T}}((F_{n})_{n\in \mathbb {N} })=\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}$

La ley cero-uno de Kolmogorov afirma que, si las F _n son estocásticamente independientes, entonces para cualquier evento , se tiene P ( E ) = 0 o P ( E )=1. ${\displaystyle E\in {\mathcal {T}}((F_{n})_{n\in \mathbb {N} })}$

El enunciado de la ley en términos de variables aleatorias se obtiene a partir de lo anterior tomando cada F _n como la σ-álgebra generada por la variable aleatoria X _n . Un evento de cola es entonces, por definición, un evento que es medible con respecto a la σ-álgebra generada por todos los X _n , pero que es independiente de cualquier número finito de X _n . Es decir, un evento de cola es precisamente un elemento de la σ-álgebra terminal . ${\displaystyle \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}}$

Ejemplos

Una transformación invertible que preserva la medida en un espacio de probabilidad estándar que obedece la ley 0-1 se llama automorfismo de Kolmogorov . ^{[ aclaración necesaria ]} Todos los automorfismos de Bernoulli son automorfismos de Kolmogorov, pero no viceversa . La presencia de un cúmulo infinito en el contexto de la teoría de la percolación también obedece a la ley 0-1.

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes, entonces el evento es un evento de cola. Por lo tanto, según la ley de Kolmogorov 0-1, tiene una probabilidad de 0 o 1 de ocurrir. Nótese que se requiere independencia para que se cumpla la condición de evento de cola. Sin independencia, podemos considerar una secuencia que sea o con probabilidad cada una. En este caso, la suma converge con una probabilidad . ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n}}$ ${\displaystyle \left\{\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}X_{k}{\text{ exists }}\right\}}$ ${\displaystyle (0,0,0,\dots )}$ ${\displaystyle (1,1,1,\dots )}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Véase también

• Lema de Borel-Cantelli
• Ley cero-uno de Hewitt-Savage
• Ley cero-uno de Lévy
• Álgebra sigma de cola
• Cola larga
• Riesgo de cola

Referencias

• Stroock, Daniel (1999). Teoría de la probabilidad: una visión analítica (edición revisada). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-66349-6..
• Brzezniak, Zdzislaw; Zastawniak, Thomasz (2000). Procesos estocásticos básicos . Saltador . ISBN 3-540-76175-6.
• Rosenthal, Jeffrey S. (2006). Una primera mirada a la teoría rigurosa de la probabilidad . Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. p. 37. ISBN 978-981-270-371-2.

Enlaces externos

• El legado de Andrei Nikolaevich Kolmogorov Curriculum vitae y biografía. Escuela Kolmogorov. Estudiantes de doctorado y descendientes de A. N. Kolmogorov. Obras, libros, documentos y artículos de A. N. Kolmogorov. Fotografías y retratos de A. N. Kolmogorov.