En geometría euclidiana , una estrella eutáctica es una figura geométrica en un espacio euclidiano . Una estrella es una figura que consiste en cualquier número de pares opuestos de vectores (o brazos) que parten de un origen central. Una estrella es eutáctica si es la proyección ortogonal de más y menos el conjunto de vectores de base estándar (es decir, los vértices de un politopo cruzado ) desde un espacio de dimensión superior sobre un subespacio . Schläfli (1901, p. 134) llamó a estas estrellas "eutácticas" (que significa "bien situadas" o "bien dispuestas") porque, para un múltiplo escalar común , sus vectores son proyecciones de una base ortonormal . [1]
Una estrella se define aquí como un conjunto de 2 vectores s A = ± a 1 , ..., ± a s que parten de un origen particular en un espacio euclidiano de dimensión n ≤ s . Una estrella es eutáctica si las a i son las proyecciones sobre n dimensiones de un conjunto de vectores iguales mutuamente perpendiculares b 1 , ..., b s que parten de un origen particular en un espacio euclidiano s -dimensional. [2] La configuración de 2 vectores s en el espacio s -dimensional B = ± b 1 , ... , ± b s se conoce como cruz . Dadas estas definiciones, una estrella eutáctica es, de forma concisa, una estrella producida por la proyección ortogonal de una cruz.
Una definición equivalente, mencionada por primera vez por Schläfli , [3] estipula que una estrella es eutáctica si existe una constante ζ tal que
para cada vector v . La existencia de tal constante requiere que la suma de los cuadrados de las proyecciones ortogonales de A sobre una línea sea igual en todas las direcciones. [4] En general,
Una estrella eutáctica normalizada es una cruz proyectada compuesta de vectores unitarios . [2] [5] Las estrellas eutácticas a menudo se consideran en n = 3 dimensiones debido a su conexión con el estudio de los poliedros regulares .
Sea T la transformación lineal simétrica definida para los vectores x por
donde a j forma cualquier colección de vectores s en el espacio euclidiano n -dimensional. El teorema principal de Hadwiger establece que los vectores ± a 1 , ..., ± a s forman una estrella eutáctica si y solo si existe una constante ζ tal que T x = ζ x para cada x . [2] [6] Los vectores forman una estrella eutáctica normalizada precisamente cuando T es el operador identidad – cuando ζ = 1.
De manera equivalente, la estrella es eutáctica normalizada si y solo si la matriz A = [ a 1 ... a s ], cuyas columnas son los vectores a k , tiene filas ortonormales . Se puede dar una prueba en una dirección completando las filas de esta matriz hasta una base ortonormal de , y en la otra proyectando ortogonalmente sobre el subespacio n -dimensional abarcado por los primeros n vectores de coordenadas cartesianas.
El teorema de Hadwiger implica la equivalencia de la estipulación de Schläfli y la definición geométrica de una estrella eutáctica, mediante la identidad de polarización . Además, tanto la identidad de Schläfli como el teorema de Hadwiger dan el mismo valor de la constante ζ .
Las estrellas eutácticas son útiles en gran medida debido a su relación con la geometría de los politopos y los grupos de transformaciones ortogonales . Schläfli demostró tempranamente que los vectores desde el centro de cualquier politopo regular hasta sus vértices forman una estrella eutáctica. Brauer y Coxeter demostraron la siguiente generalización: [7]
Una estrella es eutáctica si se transforma en sí misma mediante algún grupo irreducible de transformaciones ortogonales que actúa transitivamente sobre pares de vectores opuestos.
Un grupo irreducible significa aquí un grupo que no deja ningún subespacio propio no trivial invariante (ver representación irreducible ). Puesto que la unión teórica de dos estrellas eutácticas es en sí misma eutáctica (una consecuencia del teorema principal de Hadwiger), se puede concluir que, en general: [4]
Una estrella es eutáctica si se transforma en sí misma mediante algún grupo irreducible de transformaciones ortogonales.
Las estrellas eutácticas pueden utilizarse para validar la eutáctica de cualquier forma en general. Según HSM Coxeter : "Una forma es eutáctica si y sólo si sus vectores mínimos son paralelos a los vectores de una estrella eutáctica". [4]
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