Estructura de niveles (geometría algebraica)

En geometría algebraica , una estructura de nivel en un espacio X es una estructura adicional adjunta a X que encoge o elimina el grupo de automorfismos de X , al exigir automorfismos para preservar la estructura de nivel; adjuntar una estructura de nivel a menudo se expresa como rigidizar la geometría de X. ^{[1] [2]}

En las aplicaciones, se utiliza una estructura de niveles en la construcción de espacios de módulos ; un espacio de módulos se construye a menudo como un cociente. La presencia de automorfismos plantea una dificultad para formar un cociente ; por lo tanto, la introducción de estructuras de niveles ayuda a superar esta dificultad.

No existe una única definición de estructura de niveles; más bien, dependiendo del espacio X , se introduce la noción de estructura de niveles. La clásica es la de una curva elíptica (véase #Ejemplo: un esquema abeliano). Existe una estructura de niveles asociada a un grupo formal llamado estructura de niveles de Drinfeld , introducida en (Drinfeld 1974). ^[3]

Estructuras de niveles en curvas elípticas

Clásicamente, las estructuras de nivel en curvas elípticas están dadas por una red que contiene la red definitoria de la variedad. A partir de la teoría de módulos de curvas elípticas, todas esas redes se pueden describir como la red para en el semiplano superior. Entonces, la red generada por da una red que contiene todos los puntos de torsión en la curva elíptica denotados . De hecho, dado que tal red es invariante bajo la acción sobre , donde ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau }$ ${\displaystyle \tau \in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle 1/n,\tau /n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E[n]}$ ${\displaystyle \Gamma (n)\subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (n)&={\text{ker}}({\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} /n))\\&=\left\{M\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ):M\equiv {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\text{ (mod n)}}\right\}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, se obtiene un punto en ^[4] llamado espacio de módulos de estructuras de nivel N de curvas elípticas , que es una curva modular . De hecho, este espacio de módulos contiene un poco más de información: el emparejamiento de Weil ${\displaystyle \Gamma (n)\backslash {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle Y(n)}$

${\displaystyle e_{n}\left({\frac {1}{n}},{\frac {\tau }{n}}\right)=e^{2\pi i/n}}$

da un punto en las raíces -ésimas de la unidad, por lo tanto en . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Ejemplo: un esquema abeliano

Sea un esquema abeliano cuyas fibras geométricas tienen dimensión g . ${\displaystyle X\to S}$

Sea n un entero positivo primo del cuerpo de residuos de cada s en S. Para n ≥ 2, una estructura de nivel n es un conjunto de secciones tales que ^[5] ${\displaystyle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{2g}}$

1. para cada punto geométrico , formar una base para el grupo de puntos de orden n en , ${\displaystyle s:S\to X}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(s)}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{s}}$
2. ${\displaystyle m_{n}\circ \sigma _{i}}$es la sección identidad, donde es la multiplicación por n . ${\displaystyle m_{n}}$

Ver también: curva modular#Ejemplos , pila de módulos de curvas elípticas .

Véase también

• Forma modular de Siegel
• Rigidez (matemáticas)
• Rigidez local

Notas

1. Mumford, Fogarty y Kirwan 1994, cap. 7.
2. Katz y Mazur 1985, Introducción
3. Deligne, P.; Husemöller, D. (1987). «Encuesta de los módulos de Drinfeld» (PDF) . Contemporáneo. Matemáticas . 67 (1): 25–91. doi :10.1090/conm/067/902591.
4. Silverman, Joseph H., 1955- (2009). La aritmética de las curvas elípticas (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pp. 439–445. ISBN 978-0-387-09494-6.OCLC 405546184  .{{cite book}}: CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
5. Mumford, Fogarty y Kirwan 1994, Definición 7.1.

Referencias

• Drinfeld, V. (1974). "Módulos elípticos". Math URSS Sbornik . 23 (4): 561–592. Código Bibliográfico :1974SbMat..23..561D. doi :10.1070/sm1974v023n04abeh001731.
• Katz, Nicholas M. ; Mazur, Barry (1985). Módulos aritméticos de curvas elípticas . Princeton University Press . ISBN 0-691-08352-5.
• Harris, Michael; Taylor, Richard (2001). La geometría y la cohomología de algunas variedades simples de Shimura. Anales de estudios matemáticos. Vol. 151. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3720-5.
• Mumford, David ; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994). Teoría de las invariantes geométricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)]. vol. 34 (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3.Señor 1304906  .

Lectura adicional

• Notas sobre los principales paquetes
• J. Lurie, Estructuras de nivel en curvas elípticas.