Determinación

Subcampo de la teoría de conjuntos

La determinación es un subcampo de la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , que estudia las condiciones en las que uno u otro jugador de un juego tiene una estrategia ganadora y las consecuencias de la existencia de tales estrategias. De manera alternativa y similar, la "determinación" es la propiedad de un juego por la cual existe tal estrategia. La determinación fue introducida por Gale y Stewart en 1950, bajo el nombre de "determinación". ^[1]

Los juegos que se estudian en la teoría de conjuntos suelen ser los juegos de Gale -Stewart, juegos de dos jugadores con información perfecta en los que los jugadores realizan una secuencia infinita de movimientos y no hay tablas. El campo de la teoría de juegos estudia tipos de juegos más generales, incluidos los juegos con tablas como el tres en raya , el ajedrez o el ajedrez infinito , o los juegos con información imperfecta como el póquer .

Nociones básicas

Juegos

El primer tipo de juego que consideraremos es el juego de dos jugadores de información perfecta de longitud ω , en el que los jugadores juegan números naturales . Estos juegos suelen llamarse juegos de Gale-Stewart. ^[2]

En este tipo de juego hay dos jugadores, a menudo llamados I y II , que se turnan para jugar números naturales, siendo I el primero en jugar. Juegan "siempre", es decir, sus jugadas están indexadas por los números naturales. Cuando terminan, una condición predeterminada decide qué jugador ganó. Esta condición no necesita ser especificada por ninguna regla definible; puede ser simplemente una tabla de búsqueda arbitraria (infinitamente larga) que diga quién ganó dada una secuencia particular de jugadas.

Más formalmente, considere un subconjunto A del espacio de Baire ; recuerde que este último consiste en todas las ω-sucesiones de números naturales. Entonces, en el juego G _A , I juega un número natural a ₀ , luego II juega un ₁ , luego I juega un ₂ , y así sucesivamente. Entonces I gana el juego si y solo si

${\displaystyle \langle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \rangle \in A}$

y de lo contrario II gana. A se denomina entonces el conjunto de pagos de G _A .

Se supone que cada jugador puede ver todos los movimientos que preceden a cada uno de sus movimientos y también conoce la condición ganadora.

Estrategias

De manera informal, una estrategia para un jugador es una forma de jugar en la que sus jugadas están totalmente determinadas por las jugadas anteriores. Una vez más, esa "forma" no tiene por qué poder ser reflejada por ninguna "regla" explicable, sino que puede ser simplemente una tabla de consulta.

Más formalmente, una estrategia para el jugador I (para un juego en el sentido de la subsección precedente) es una función que acepta como argumento cualquier secuencia finita de números naturales, de longitud par, y devuelve un número natural. Si σ es una estrategia de este tipo y <a 0 ,...,a 2n-1 > _{es una secuencia de jugadas, entonces} σ ( <a 0 ,...,a 2n-1 > _{) es la siguiente jugada} que haré , si I sigue la estrategia σ . Las estrategias para II son exactamente las mismas, sustituyendo "par" por "impar".

Cabe señalar que, hasta el momento, no hemos dicho nada sobre si una estrategia es buena o no . Una estrategia puede indicar a un jugador que haga movimientos agresivos y malos, y aun así seguirá siendo una estrategia. De hecho, ni siquiera es necesario conocer la condición ganadora de un juego para saber qué estrategias existen para ese juego.

Estrategias ganadoras

Una estrategia es ganadora si el jugador que la sigue debe necesariamente ganar, sin importar lo que juegue su oponente. Por ejemplo, si σ es una estrategia para I , entonces σ es una estrategia ganadora para I en el juego G _A si, para cualquier secuencia de números naturales a jugar por II , digamos <a 1 ,a 3 ,a 5 ,...> _{, la secuencia de jugadas producidas por} σ cuando II juega así, a saber

${\displaystyle \langle \sigma (\langle \rangle ),a_{1},\sigma (\langle \sigma (\langle \rangle ),a_{1}\rangle ),a_{3},\ldots \rangle }$

es un elemento de A .

Juegos determinados

Un juego (o una clase de juego) se determina si, para todas las instancias del juego, existe una estrategia ganadora para uno de los jugadores (no necesariamente el mismo jugador para cada instancia). ^[3] No puede haber una estrategia ganadora para ambos jugadores en el mismo juego, ya que, si la hubiera, las dos estrategias podrían jugarse una contra la otra. El resultado resultante sería, entonces, por hipótesis, una victoria para ambos jugadores, lo que es imposible. ^[4]

Determinación a partir de consideraciones elementales

Se determinan todos los juegos finitos de información perfecta en los que no se producen empates.

Los juegos del mundo real de información perfecta, como el tres en raya , el ajedrez o el ajedrez infinito , siempre terminan en un número finito de movimientos (en los juegos de ajedrez infinitos esto supone que se aplica la regla de los 50 movimientos). Si se modifica un juego de este tipo para que un jugador en particular gane bajo cualquier condición en la que el juego se hubiera llamado tablas, entonces siempre está determinado. ^[4] La condición de que el juego siempre termine (es decir, todas las extensiones posibles de la posición finita resultan en una victoria para el mismo jugador) en un número finito de movimientos corresponde a la condición topológica de que el conjunto A que da la condición ganadora para G _A es clopen en la topología del espacio de Baire .

Por ejemplo, modificar las reglas del ajedrez para hacer que las partidas empatadas sean una victoria para las negras hace que el ajedrez sea un juego determinado. ^[5] En realidad, el ajedrez tiene un número finito de posiciones y reglas de empate por repetición, por lo que con estas reglas modificadas, si el juego continúa el tiempo suficiente sin que las blancas hayan ganado, las negras pueden eventualmente forzar una victoria (debido a la modificación de empate = victoria para las negras).

La prueba de que tales juegos están determinados es bastante simple: el jugador I simplemente juega para no perder ; es decir, el jugador I juega para asegurarse de que el jugador II no tenga una estrategia ganadora después de la jugada de I. Si el jugador I no puede hacer esto, entonces significa que el jugador II tenía una estrategia ganadora desde el principio. Por otro lado, si el jugador I puede jugar de esta manera, entonces debo ganar, porque el juego terminará después de un número finito de jugadas, y el jugador I no puede haber perdido en ese momento.

Esta prueba no requiere en realidad que el juego siempre termine en un número finito de movimientos, sino sólo que termine en un número finito de movimientos siempre que II gane. Esa condición, topológicamente, es que el conjunto A sea cerrado . Este hecho —que todos los juegos cerrados están determinados— se denomina teorema de Gale-Stewart . Nótese que, por simetría, todos los juegos abiertos también están determinados. (Un juego es abierto si I puede ganar sólo ganando en un número finito de movimientos).

Determinación deZFC

David Gale y FM Stewart demostraron que los juegos abiertos y cerrados están determinados. Wolfe demostró la determinación de los juegos de segundo nivel de la jerarquía de Borel en 1955. Durante los siguientes 20 años, investigaciones adicionales que utilizaron argumentos cada vez más complejos establecieron que los niveles tercero y cuarto de la jerarquía de Borel están determinados. ^{[ especificar ]}

En 1975, Donald A. Martin demostró que todos los juegos de Borel están determinados; ^[6] es decir, si A es un subconjunto de Borel del espacio de Baire, entonces G _A está determinado. Este resultado, conocido como determinación de Borel , es el mejor resultado de determinación posible demostrable en ZFC, en el sentido de que la determinación de la siguiente clase superior de Wadge no es demostrable en ZFC.

En 1971, antes de que Martin obtuviera su prueba, Harvey Friedman demostró que cualquier prueba de determinación de Borel debe utilizar el axioma de reemplazo de manera esencial, para iterar el axioma de conjunto potenciado transfinitamente a menudo. El trabajo de Friedman proporciona un resultado nivel por nivel que detalla cuántas iteraciones del axioma de conjunto potenciado son necesarias para garantizar la determinación en cada nivel de la jerarquía de Borel .

Para cada entero n , ZFC\P prueba la determinación en el n º nivel de la jerarquía de diferencias de conjuntos, pero ZFC\P no prueba que para cada entero n n º nivel de la jerarquía de diferencias de conjuntos esté determinado. Véase matemáticas inversas para otras relaciones entre determinación y subsistemas de aritmética de segundo orden . ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{3}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{3}^{0}}$

Determinación y grandes cardinales

Existe una relación íntima entre la determinación y los grandes cardinales . En general, los axiomas de grandes cardinales más fuertes prueban la determinación de clases puntuales más grandes , más arriba en la jerarquía de Wadge , y la determinación de dichas clases puntuales, a su vez, prueba la existencia de modelos internos de axiomas de grandes cardinales ligeramente más débiles que los utilizados para probar la determinación de la clase puntual en primer lugar.

Cardenales medibles

De la existencia de un cardinal medible se desprende que todo juego analítico (también llamado juego Σ ¹ ₁ ) está determinado, o equivalentemente, que todo juego coanalítico (o Π ¹ _{1 ) está determinado. (Véase} Jerarquía proyectiva para las definiciones).

En realidad, un cardinal medible es más que suficiente. Un principio más débil —la existencia de 0 #— es suficiente para probar la determinación coanalítica, y un poco más: El resultado preciso es que la existencia de 0 ^# es equivalente a la determinación de todos los niveles de la jerarquía de diferencias por debajo del nivel ω ² , es decir, determinación ω·n- Π ¹ ₁ para cada . ${\displaystyle n}$

A partir de un cardinal medible podemos mejorar esto muy levemente a la determinación ω ² - Π ¹ ₁ . A partir de la existencia de más cardinales mensurables, se puede probar la determinación de más niveles de la jerarquía de diferencias sobre Π ¹ ₁ .

Prueba de determinación a partir de objetos punzantes

Para cada número real r , la determinación es equivalente a la existencia de r ^# . Para ilustrar cómo los cardinales grandes conducen a la determinación, aquí hay una prueba de determinación dada la existencia de r ^# . ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(r)}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(r)}$

Sea A un subconjunto del espacio de Baire. A = p[ T ] para algún árbol T (construible a partir de r ) en (ω, ω). (Es decir, x∈A si y sólo si a partir de algún y , hay un camino que pasa por T .) ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(r)}$ ${\displaystyle ((x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...)}$

Dado un juego parcial s , sea el subárbol de T consistente con s sujeto a máx(y ₀ ,y ₁ ,...,y _len(s)-1 )<len(s). La condición adicional asegura que es finito. La consistencia significa que cada camino a través de es de la forma donde es un segmento inicial de s . ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle ((x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i}))}$ ${\displaystyle (x_{0},x_{1},...,x_{i})}$

Para demostrar que A está determinado, defina el juego auxiliar de la siguiente manera:
Además de los movimientos ordinarios, el jugador 2 debe jugar una aplicación de en ordinales (por debajo de un ordinal κ suficientemente grande ) tal que ${\displaystyle T_{s}}$

• Cada nuevo movimiento extiende el mapeo anterior y
• El orden de los ordinales concuerda con el orden de Kleene-Brouwer en . ${\displaystyle T_{s}}$

Recordemos que el orden de Kleene-Brouwer es como el orden lexicográfico, excepto que si s extiende correctamente a t, entonces s < t . Es un buen ordenamiento si y solo si el árbol está bien fundado.

El juego auxiliar está abierto. Demostración: Si el jugador 2 no pierde en una etapa finita, entonces la unión de todos (que es el árbol que corresponde a la jugada) está bien fundada, y por lo tanto el resultado de la jugada no auxiliar no está en A. ${\displaystyle T_{s}}$

Por lo tanto, el juego auxiliar está determinado. Demostración: Por inducción transfinita, para cada ordinal α calcule el conjunto de posiciones donde el jugador 1 puede forzar una victoria en α pasos, donde una posición con el jugador 2 para mover está perdiendo (para el jugador 2) en α pasos si y solo si para cada movimiento la posición resultante está perdiendo en menos de α pasos. Una estrategia para el jugador 1 es reducir α con cada posición (por ejemplo, eligiendo el α menor y desempatando eligiendo el movimiento menor), y una estrategia para el jugador 2 es elegir el movimiento menor (en realidad, cualquiera funcionaría) que no lleve a una posición con un α asignado. Nótese que L ( r ) contiene el conjunto de posiciones ganadoras así como las estrategias ganadoras dadas anteriormente.

Una estrategia ganadora para el jugador 2 en el juego original conduce a una estrategia ganadora en el juego auxiliar: el subárbol de T correspondiente a la estrategia ganadora está bien fundado, por lo que el jugador 2 puede elegir ordinales en función del orden de Kleene-Brouwer del árbol. Además, de manera trivial, una estrategia ganadora para el jugador 2 en el juego auxiliar da una estrategia ganadora para el jugador 2 en el juego original.

Queda por demostrar que usando r ^# , la estrategia ganadora mencionada anteriormente para el jugador 1 en el juego auxiliar se puede convertir en una estrategia ganadora en el juego original. r ^# da una clase propia I de ( L ( r ),∈, r ) ordinales indiscernibles . Por indiscernibilidad, si κ y los ordinales en la respuesta auxiliar están en I , entonces los movimientos del jugador 1 no dependen de los movimientos auxiliares (o de κ ), y por lo tanto la estrategia se puede convertir en una estrategia para el juego original (ya que el jugador 2 puede resistir con indiscernibles para cualquier número finito de pasos). Supongamos que el jugador 1 pierde en el juego original. Entonces, el árbol correspondiente a una jugada está bien fundado. Por lo tanto, el jugador 2 puede ganar el juego auxiliar utilizando movimientos auxiliares basados ​​en los indiscernibles (ya que el tipo de orden de los indiscernibles excede el orden Kleene-Brouwer del árbol), lo que contradice que el jugador 1 gane el juego auxiliar.

Cardenales de Woodin

Si hay un cardinal de Woodin con un cardinal medible por encima de él, entonces se cumple la determinación Π ¹ _2. De manera más general, si hay n cardinales de Woodin con un cardinal medible por encima de todos ellos, entonces se cumple la determinación Π ¹ _n+1 . De la determinación Π ¹ _n+1 , se sigue que hay un modelo interno transitivo que contiene n cardinales de Woodin.

${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$(lightface) la determinación es equiconsistente con un cardinal de Woodin. Si la determinación se cumple, entonces para un cono de Turing de x (es decir, para cada x real de grado de Turing suficientemente alto ), L[ x ] satisface la determinación OD (es decir, la determinación de juegos sobre números enteros de longitud ω y pago definible por ordinales), y en HOD ^{L[ x ]} es un cardinal de Woodin. ${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}^{L[x]}}$

Determinación proyectiva

Si hay infinitos cardinales de Woodin, entonces se cumple la determinación proyectiva; es decir, cada juego cuya condición ganadora sea un conjunto proyectivo está determinado. De la determinación proyectiva se sigue que, para cada número natural n , existe un modelo interno transitivo que satisface que hay n cardinales de Woodin.

Axioma de determinación

El axioma de determinabilidad , o AD , afirma que cada juego de dos jugadores con información perfecta de longitud ω, en el que los jugadores juegan naturales, está determinado.

AD es demostrablemente falso a partir de ZFC; utilizando el axioma de elección se puede demostrar la existencia de un juego no determinado. Sin embargo, si hay infinitos cardinales de Woodin con un medible por encima de todos ellos, entonces L(R) es un modelo de ZF que satisface AD.

Consecuencias de la determinación

Propiedades de regularidad para conjuntos de números reales

Si A es un subconjunto del espacio de Baire tal que el juego de Banach-Mazur para A está determinado, entonces II tiene una estrategia ganadora, en cuyo caso A es magro , o I tiene una estrategia ganadora, en cuyo caso A es comeger en algún vecindario abierto ^[1] .

Esto no implica exactamente que A tenga la propiedad de Baire , pero se acerca: una simple modificación del argumento muestra que si Γ es una clase puntual adecuada tal que cada juego en Γ está determinado, entonces cada conjunto de números reales en Γ tiene la propiedad de Baire.

De hecho, este resultado no es óptimo; considerando el juego de Banach-Mazur desplegado, podemos demostrar que la determinación de Γ (para Γ con suficientes propiedades de clausura) implica que todo conjunto de reales que sea la proyección de un conjunto en Γ tiene la propiedad de Baire. Así, por ejemplo, la existencia de un cardinal medible implica la determinación de Π ¹ ₁ , lo que a su vez implica que todo conjunto de reales Σ ¹ ₂ tiene la propiedad de Baire.

Considerando otros juegos, podemos demostrar que la determinación Π ¹ _n implica que todo conjunto Σ ¹ _{n +1} de números reales tiene la propiedad de Baire, es medible según Lebesgue (de hecho, universalmente medible ) y tiene la propiedad de conjunto perfecto .

Teoremas de periodicidad

• El primer teorema de periodicidad implica que, para cada número natural n , si se cumple la determinación Δ ¹ _{2 n +1} , entonces Π ¹ _{2 n +1} y Σ ¹ _{2 n +2} tienen la propiedad de preordenación (y que Σ ¹ _{2 n +1} y Π ¹ _{2 n +2} no tienen la propiedad de preordenación, sino que tienen la propiedad de separación ).
• El segundo teorema de periodicidad implica que, para cada número natural n , si se cumple la determinación Δ ¹ _{2 n +1} , entonces Π ¹ _{2 n +1} y Σ ¹ _{2 n} tienen la propiedad de escala . ^[7] En particular, si se cumple la determinación proyectiva, entonces toda relación proyectiva tiene una uniformización proyectiva .
• El tercer teorema de periodicidad proporciona una condición suficiente para que un juego tenga una estrategia ganadora definible.

Aplicaciones a la decidibilidad de ciertas teorías de segundo orden

En 1969, Michael O. Rabin demostró que la teoría monádica de segundo orden de n sucesores ( S2S para n = 2) es decidible . ^[8] Un componente clave de la prueba requiere mostrar la determinabilidad de los juegos de paridad , que se encuentran en el tercer nivel de la jerarquía de Borel .

Determinación de Wadge

La determinación de Wadge es la afirmación de que para todos los pares A , B de subconjuntos del espacio de Baire , el juego de Wadge G( A , B ) está determinado. De manera similar, para una clase puntual Γ, Γ La determinación de Wadge es la afirmación de que para todos los conjuntos A , B en Γ , el juego de Wadge G( A , B ) está determinado.

La determinación de Wadge implica el principio de ordenación semilineal para el orden de Wadge . Otra consecuencia de la determinación de Wadge es la propiedad de conjunto perfecto .

En general, la determinación de Wadge de Γ es una consecuencia de la determinación de las combinaciones booleanas de conjuntos en Γ. En la jerarquía proyectiva , la determinación de Wadge de Π ¹ ₁ es equivalente a la determinación de Π ¹ ₁ , como demostró Leo Harrington . Este resultado fue ampliado por Hjorth para demostrar que la determinación de Wadge de Π ¹ ₂ (y, de hecho, el principio de ordenación semilineal para Π ¹ ₂ ) ya implica la determinación de Π ¹ ₂ .

Juegos más generales

Juegos en los que los objetos en juego no son números naturales

La determinación de juegos sobre ordinales con pago ordinal definible y longitud ω implica que para cada cardinal regular κ > ω no existen subconjuntos estacionarios disjuntos definibles ordinalmente de κ formados por ordinales de cofinalidad ω. Se desconoce la fuerza de consistencia de la hipótesis de determinación, pero se espera que sea muy alta.

Juegos jugados enárboles

Juegos largos

La existencia de ω ₁ cardinales de Woodin implica que para cada ordinal contable α, todos los juegos en números enteros de longitud α y pago proyectivo están determinados. En términos generales, α cardinales de Woodin corresponden a la determinación de juegos en números reales de longitud α (con un conjunto de pagos simple). Suponiendo un límite de cardinales de Woodin κ con o( κ )= κ ⁺⁺ y ω cardinales de Woodin por encima de κ , se determinan juegos de longitud contable variable donde el juego termina tan pronto como su longitud es admisible en relación con la línea de juego y con pago proyectivo. Suponiendo que una cierta conjetura de iterabilidad es demostrable, la existencia de un cardinal de Woodin medible implica la determinación de juegos abiertos de longitud ω ₁ y pago proyectivo. (En estos juegos, una condición ganadora para el primer jugador se activa en una etapa contable, por lo que el pago puede codificarse como un conjunto de números reales).

En relación con un límite de Woodin de cardinales de Woodin y un medible por encima de ellos, es consistente que cada juego sobre números enteros de longitud ω ₁ y pago ordinal definible está determinado. Se conjetura que la hipótesis de determinación es equiconsistente con un límite de Woodin de cardinales de Woodin. ω ₁ es máximo en el sentido de que hay juegos indeterminados sobre números enteros de longitud ω ₁ + ω y pago ordinal definible.

Juegos de información imperfecta

En cualquier juego interesante con información imperfecta , una estrategia ganadora será una estrategia mixta : es decir, dará cierta probabilidad de diferentes respuestas a la misma situación. Si las estrategias óptimas de ambos jugadores son estrategias mixtas, entonces el resultado del juego no puede ser ciertamente determinante (como puede serlo para las estrategias puras , ya que estas son deterministas ). Pero se puede calcular la distribución de probabilidad de los resultados de las estrategias mixtas opuestas. Un juego que requiere estrategias mixtas se define como determinado si existe una estrategia que produce un valor esperado mínimo (sobre posibles contraestrategias) que excede un valor dado. En contra de esta definición, todos los juegos finitos de suma cero de dos jugadores están claramente determinados. Sin embargo, la determinación de los juegos infinitos de información imperfecta (juegos de Blackwell) es menos clara. ^[9]

En 1969, David Blackwell demostró que algunos "juegos infinitos con información imperfecta" (ahora llamados "juegos de Blackwell") están determinados, y en 1998, Donald A. Martin demostró que la determinación ordinaria (juego de información perfecta) para una clase puntual en negrita implica la determinación de Blackwell para la clase puntual. Esto, combinado con el teorema de determinación de Borel de Martin, implica que todos los juegos de Blackwell con funciones de pago de Borel están determinados. ^{[10] [11]} Martin conjeturó que la determinación ordinaria y la determinación de Blackwell para juegos infinitos son equivalentes en un sentido fuerte (es decir, que la determinación de Blackwell para una clase puntual en negrita implica a su vez la determinación ordinaria para esa clase puntual), pero a partir de 2010, no se ha demostrado que la determinación de Blackwell implique la determinación de un juego de información perfecta. ^[12]

Cuasi-estrategias y cuasideterminación

Véase también

• ω-autómata
• Juego resuelto
• Juego estrictamente determinado
• Juego topológico

Notas al pie

1. Friedman, Harvey M. (2003). "Teoría de conjuntos superiores y práctica matemática". En Sacks, Gerald E (ed.). Lógica matemática en el siglo XX . Publicado en conjunto por World Scientific y Singapore University Press. Págs. 49-81. doi :10.1142/9789812564894_0005. ISBN . 978-981-02-4736-2.
2. Soare, Robert I. (2016). Computabilidad de Turing: teoría y aplicaciones . Springer. pp. 217 y siguientes. ISBN . 978-3-6423-1932-7.
3. Kechris, Alexander S. (1995). Teoría clásica de conjuntos descriptivos. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 156. Springer-Verlag. pág. 52. ISBN 978-0-387-94374-9.
4. https://www.math.uni-hamburg.de/Infinite Games, Yurii Khomskii (2010) Infinite Games, Yurii Khomskii (2010)
5. "Ajedrez infinito, PBS Infinite Series" PBS Infinite Series, con fuentes que incluyen artículos académicos de J. Hamkins (ajedrez infinito:: https://arxiv.org/abs/1302.4377 y https://arxiv.org/abs/1510.08155).
6. Martin, Donald A. (1975). "Determinación de Borel". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 102 (2): 363–371. doi :10.2307/1971035. JSTOR  1971035.
7. "Determinación máxima". mit.edu .
8. Rabin, Michael O. (1969). "Decidibilidad de teorías de segundo orden y autómatas en árboles infinitos" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 141 : 1–35. doi :10.2307/1995086. JSTOR  1995086. Archivado desde el original (PDF) el 1 de mayo de 2016.
9. Vervoort, MR (1996), "Juegos de Blackwell" (PDF) , Estadística, probabilidad y teoría de juegos , Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series, vol. 30, págs. 369–390, doi : 10.1214/lnms/1215453583 , ISBN 978-0-940600-42-3
10. Martin, DA (diciembre de 1998). "La determinación de los juegos de Blackwell". Journal of Symbolic Logic . 63 (4): 1565–1581. doi :10.2307/2586667. JSTOR  2586667. S2CID  42107522.
11. Shmaya, E. (2011). "La determinación de juegos infinitos con eventual monitoreo perfecto". Proc. Amer. Math. Soc . 30 (10): 3665–3678. arXiv : 0902.2254 . Código Bibliográfico :2009arXiv0902.2254S. doi :10.1090/S0002-9939-2011-10987-0. S2CID  14647957.
12. Löwe, Benedikt (2005). "Teoría de conjuntos de juegos de información imperfecta infinita". En Andretta, Alessandro (ed.). Teoría de conjuntos: tendencias y aplicaciones recientes . Roma: Aracne Ed. págs. 137–181. ISBN  978-88-548-0982-6.

1. ^ Esto supone que I está intentando conseguir que la intersección de los vecindarios jugados sea un singleton cuyo elemento único sea un elemento de A . Algunos autores hacen que ese sea el objetivo en cambio para el jugador II ; ese uso requiere modificar las observaciones anteriores en consecuencia.

Referencias

• Gale, David ; Stewart, FM (1953). "Juegos infinitos con información perfecta". En Kuhn, Harold William; Tucker, Albert William (eds.). Contribuciones a la teoría de juegos . Anales de estudios matemáticos. Vol. 28. Princeton, NJ: Princeton University Press. págs. 245–266. ISBN 978-0-691-07935-6.
• Harrington, Leo (enero de 1978). "Determinación analítica y 0#". The Journal of Symbolic Logic . 43 (4): 685–693. doi :10.2307/2273508. JSTOR  2273508. S2CID  46061318.
• Hjorth, Greg (enero de 1996). "Π12 grados de Wadge". Anales de lógica pura y aplicada . 77 : 53–74. doi : 10.1016/0168-0072(95)00011-9 .
• Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos, edición del tercer milenio (revisada y ampliada) . Springer. ISBN 978-3-540-44085-7.
• Martin, Donald A. (1975). "Determinación de Borel". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 102 (2): 363–371. doi :10.2307/1971035. JSTOR  1971035.
• Martin, Donald A. y John R. Steel (enero de 1989). "Una prueba de determinación proyectiva". Revista de la Sociedad Matemática Americana . 2 (1): 71–125. doi : 10.2307/1990913 . JSTOR  1990913.
• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos . Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-70199-2.
• Woodin, W. Hugh (1988). "Cardinales supercompactos, conjuntos de reales y árboles débilmente homogéneos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 85 (18): 6587–6591. Bibcode :1988PNAS...85.6587W. doi : 10.1073/pnas.85.18.6587 . PMC  282022 . PMID  16593979.
• Martin, Donald A. (2003). "Una prueba simple de que la determinación implica mensurabilidad de Lebesgue". Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Turín . 61 (4): 393–399. (PDF)
• Wolfe, P. (1955). "La determinación estricta de ciertos juegos infinitos". Pacific J. Math . 5 (5): Suplemento I:841–847. doi : 10.2140/pjm.1955.5.841 .

Enlaces externos

• "Grandes cardenales y determinación" en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford