Estimador de Hodges

Tipo de estimador estadístico

En estadística , el estimador de Hodges ^[1] (o estimador de Hodges–Le Cam ^[2] ), llamado así por Joseph Hodges , es un famoso contraejemplo de un estimador que es "supereficiente", ^[3] es decir, que alcanza una varianza asintótica menor que los estimadores eficientes regulares . La existencia de un contraejemplo de este tipo es la razón para la introducción del concepto de estimadores regulares .

El estimador de Hodges mejora a un estimador regular en un único punto. En general, cualquier estimador supereficiente puede superar a un estimador regular como máximo en un conjunto de medida de Lebesgue cero. ^[4]

Aunque Hodges descubrió el estimador nunca lo publicó; la primera publicación fue en la tesis doctoral de Lucien Le Cam . ^[5]

Construcción

Supongamos que es un estimador "común" para algún parámetro : es consistente y converge a alguna distribución asintótica (normalmente se trata de una distribución normal con media cero y varianza que puede depender de ) a la tasa: ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle L_{\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta )\ {\xrightarrow {d}}\ L_{\theta }\ .}$

Entonces el estimador de Hodges se define como ^[6] ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}={\begin{cases}{\hat {\theta }}_{n},&{\text{if }}|{\hat {\theta }}_{n}|\geq n^{-1/4},{\text{ and}}\\0,&{\text{if }}|{\hat {\theta }}_{n}|<n^{-1/4}.\end{cases}}}$

Este estimador es igual a en todas partes excepto en el pequeño intervalo , donde es igual a cero. No es difícil ver que este estimador es consistente para , y su distribución asintótica es ^[7] ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$ ${\displaystyle [-n^{-1/4},n^{-1/4}]}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&n^{\alpha }({\hat {\theta }}_{n}^{H}-\theta )\ {\xrightarrow {d}}\ 0,\qquad {\text{when }}\theta =0,\\&{\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}^{H}-\theta )\ {\xrightarrow {d}}\ L_{\theta },\quad {\text{when }}\theta \neq 0,\end{aligned}}}$

para cualquier . Por lo tanto, este estimador tiene la misma distribución asintótica que para todos , mientras que para la tasa de convergencia se vuelve arbitrariamente rápida. Este estimador es supereficiente , ya que supera el comportamiento asintótico del estimador eficiente al menos en un punto . ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$ ${\displaystyle \theta \neq 0}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$ ${\displaystyle \theta =0}$

No es cierto que el estimador de Hodges sea equivalente a la media muestral, pero es mucho mejor cuando la media verdadera es 0. La interpretación correcta es que, para un número finito , el truncamiento puede llevar a un error cuadrático peor que el estimador de la media muestral para valores cercanos a 0, como se muestra en el ejemplo de la siguiente sección. ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E[X]}$

Le Cam muestra que este comportamiento es típico: la supereficiencia en el punto θ implica la existencia de una secuencia tal que es estrictamente mayor que el límite de Cramér-Rao . Para el caso extremo donde el riesgo asintótico en θ es cero, el es incluso infinito para una secuencia . ^[9] ${\displaystyle \theta _{n}\rightarrow \theta }$ ${\displaystyle \lim \inf E\theta _{n}\ell ({\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{n}))}$ ${\displaystyle \liminf }$ ${\displaystyle \theta _{n}\rightarrow \theta }$

En general, la supereficiencia sólo se puede lograr en un subconjunto de medida de Lebesgue cero del espacio de parámetros . ^[10] ${\displaystyle \Theta }$

Ejemplo

Error cuadrático medio ( por n ) del estimador de Hodges. La curva azul corresponde a n = 5 , la violeta a n = 50 y la verde oliva a n = 500. [ ^11]

Supongamos que x ₁ , ..., x _n es una muestra aleatoria independiente e idénticamente distribuida (IID) de distribución normal N ( θ , 1) con media desconocida pero varianza conocida. Entonces, el estimador común para la media poblacional θ es la media aritmética de todas las observaciones: . El estimador de Hodges correspondiente será , donde 1 {...} denota la función indicadora . ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}\;=\;{\bar {x}}\cdot \mathbf {1} \{|{\bar {x}}|\,\geq \,n^{-1/4}\}}$

El error cuadrático medio (escalado por n ) asociado con el estimador regular x es constante e igual a 1 para todos los θ . Al mismo tiempo, el error cuadrático medio del estimador de Hodges se comporta erráticamente en la vecindad de cero, e incluso se vuelve ilimitado cuando n → ∞ . Esto demuestra que el estimador de Hodges no es regular , y sus propiedades asintóticas no se describen adecuadamente mediante límites de la forma ( θ fijo, n → ∞ ). ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}}$

Véase también

• Estimador de James-Stein

Notas

1. Vaart (1998, pág. 109)
2. Col rizada (1985)
3. Bickel (1998, pág. 21)
4. Vaart (1998, pág. 116)
5. Le Cam, Lucien M.; Universidad de California, Berkeley. (1953). Sobre algunas propiedades asintóticas de las estimaciones de máxima verosimilitud y las estimaciones de Bayes relacionadas. Publicaciones de la Universidad de California en estadística; v. 1, n.º 11. Berkeley: Prensa de la Universidad de California.
6. Stoica y Ottersten (1996, pág.135)
7. Vaart (1998, pág. 109)
8. Vaart AW van der. Estadísticas asintóticas . Prensa de la Universidad de Cambridge; 1998.
9. van der Vaart, AW, y Wellner, JA (1996). Convergencia débil y procesos empíricos. En Springer Series in Statistics. Springer Nueva York. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2545-2
10. Vaart AW van der. Estadísticas asintóticas . Prensa de la Universidad de Cambridge; 1998.
11. Vaart (1998, pág. 110)

Referencias

• Bickel, Peter J.; Klaassen, Chris AJ; Ritov, Ya'acov; Wellner, Jon A. (1998). Estimación eficiente y adaptativa para modelos semiparamétricos . Springer: Nueva York. ISBN 0-387-98473-9.
• Kale, BK (1985). "Una nota sobre el estimador supereficiente". Journal of Statistical Planning and Inference . 12 : 259–263. doi :10.1016/0378-3758(85)90074-6.
• Stoica, P.; Ottersten, B. (1996). "El mal de la supereficiencia". Procesamiento de señales . 55 : 133–136. doi :10.1016/S0165-1684(96)00159-4.
• Vaart, AW van der (1998). Estadísticas asintóticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-78450-4.