Estimador de Arellano-Bond

En econometría , el estimador de Arellano-Bond es un estimador de momentos del método generalizado utilizado para estimar modelos dinámicos de datos de panel . Fue propuesto en 1991 por Manuel Arellano y Stephen Bond , ^[1] basándose en el trabajo anterior de Alok Bhargava y John Denis Sargan en 1983, para abordar ciertos problemas de endogeneidad. ^[2] El estimador GMM-SYS es un sistema que contiene tanto los niveles como las ecuaciones de primeras diferencias. Proporciona una alternativa al estimador GMM de primeras diferencias estándar.

Descripción cualitativa

A diferencia de los modelos de datos de panel estáticos, los modelos de datos de panel dinámicos incluyen niveles rezagados de la variable dependiente como regresores. Incluir una variable dependiente rezagada como regresor viola la exogeneidad estricta, porque es probable que la variable dependiente rezagada esté correlacionada con los efectos aleatorios y/o los errores generales. ^[2] El artículo de Bhargava-Sargan desarrolló combinaciones lineales óptimas de variables predeterminadas de diferentes períodos de tiempo, proporcionó condiciones suficientes para la identificación de parámetros del modelo utilizando restricciones a lo largo de períodos de tiempo y desarrolló pruebas de exogeneidad para un subconjunto de las variables. Cuando se violan los supuestos de exogeneidad y el patrón de correlación entre las variables que varían en el tiempo y los errores puede ser complicado, las técnicas de datos de panel estáticos de uso común, como los estimadores de efectos fijos , probablemente produzcan estimadores inconsistentes porque requieren ciertos supuestos de exogeneidad estrictos .

Anderson y Hsiao (1981) propusieron por primera vez una solución utilizando la estimación de variables instrumentales (VI). ^[3] Sin embargo, el estimador de Anderson-Hsiao es asintóticamente ineficiente, ya que su varianza asintótica es mayor que la del estimador de Arellano-Bond, que utiliza un conjunto similar de instrumentos, pero utiliza un método generalizado de estimación de momentos en lugar de una estimación de variables instrumentales .

En el método Arellano-Bond, se toman las primeras diferencias de la ecuación de regresión para eliminar los efectos individuales. Luego, se utilizan rezagos más profundos de la variable dependiente como instrumentos para los rezagos diferenciados de la variable dependiente (que son endógenos).

En las técnicas tradicionales de datos de panel, la adición de rezagos más profundos de la variable dependiente reduce la cantidad de observaciones disponibles. Por ejemplo, si hay observaciones disponibles en T períodos de tiempo, luego de la primera diferenciación, solo se pueden utilizar T-1 rezagos. Luego, si se utilizan K rezagos de la variable dependiente como instrumentos, solo se pueden utilizar TK-1 observaciones en la regresión. Esto crea una disyuntiva: agregar más rezagos proporciona más instrumentos, pero reduce el tamaño de la muestra. El método Arellano-Bond evita este problema.

Descripción formal

Considere el modelo estático lineal de efectos no observados para observaciones y períodos de tiempo: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle y_{it}=X_{it}\mathbf {\beta } +\alpha _{i}+u_{it}}$para y ${\displaystyle t=1,\ldots ,T}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$

donde es la variable dependiente observada para el individuo en el momento es la matriz del regresor variable en el tiempo , es el efecto individual invariante en el tiempo no observado y es el término de error . A diferencia de , no puede ser observado por el econometrista. Ejemplos comunes de efectos invariantes en el tiempo son la capacidad innata para los individuos o los factores históricos e institucionales para los países. ${\displaystyle y_{it}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle X_{it}}$ ${\displaystyle 1\times k}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle u_{it}}$ ${\displaystyle X_{it}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

A diferencia de un modelo de datos de panel estático, un modelo de panel dinámico también contiene rezagos de la variable dependiente como regresores, lo que da cuenta de conceptos como el impulso y la inercia. Además de los regresores descritos anteriormente, considere un caso en el que se incluye un rezago de la variable dependiente como regresor, . ${\displaystyle y_{it-1}}$

${\displaystyle y_{it}=X_{it}\mathbf {\beta } +\rho y_{it-1}+\alpha _{i}+u_{it}{\text{ for }}t=2,\ldots ,T{\text{ and }}i=1,\ldots ,N}$

Tomando la primera diferencia de esta ecuación para eliminar el efecto individual,

${\displaystyle \Delta y_{it}=y_{it}-y_{it-1}=\Delta X_{it}\beta +\rho \Delta \ y_{it-1}+\Delta u_{it}{\text{ for }}t=3,\ldots ,T{\text{ and }}i=1,\ldots ,N.}$

Tenga en cuenta que si se tiene un coeficiente que varía con el tiempo, entonces la diferencia de la ecuación no eliminará el efecto individual. Esta ecuación se puede reescribir como: ${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \Delta y=\Delta R\pi +\Delta u.}$

Aplicando la fórmula del Estimador Eficiente del Método Generalizado de Momentos, que es,

${\displaystyle \pi _{\text{EGMM}}=[\Delta R'Z(Z'\Omega Z)^{-1}Z'\,\Delta R]^{-1}\,\Delta R'Z(Z'\Omega Z)^{-1}Z'\Delta y}$

¿Dónde está la matriz del instrumento para ? ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \Delta R}$

La matriz se puede calcular a partir de la varianza de los términos de error, para el estimador Arellano-Bond de un paso o utilizando los vectores residuales del estimador Arellano-Bond de un paso para el estimador Arellano-Bond de dos pasos, que es consistente y asintóticamente eficiente en presencia de heterocedasticidad . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u_{it}}$

Matriz de instrumentos

El estimador IV original de Anderson y Hsiao (1981) utiliza las siguientes condiciones de momento:

${\displaystyle E(y_{it-I}\,\Delta u_{it})=0{\text{ with }}I\geq 2{\text{ for each }}t\geq 3.}$

Utilizando un solo instrumento , estas condiciones de momento forman la base de la matriz del instrumento : ${\displaystyle y_{it-2}}$ ${\displaystyle Z_{di}}$

${\displaystyle Z_{di}={\begin{bmatrix}NA&(t=2)\\y_{i1}&(t=3)\\y_{i2}&(t=4)\\\vdots &\vdots \\y_{T-2}&(t=T)\end{bmatrix}}}$

Nota: La primera observación posible es t = 2 debido a la transformación de primera diferencia

El instrumento se introduce como una sola columna. Como no está disponible en , se deben descartar todas las observaciones de . ${\displaystyle y_{it-2}}$ ${\displaystyle y_{it-2}}$ ${\displaystyle t=2}$ ${\displaystyle t=2}$

El uso de un instrumento adicional implicaría agregar una columna adicional a . Por lo tanto, todas las observaciones de tendrían que ser descartadas. ${\displaystyle y_{it-3}}$ ${\displaystyle Z_{di}}$ ${\displaystyle t=3}$

Si bien la adición de instrumentos adicionales aumenta la eficiencia del estimador IV, el tamaño de muestra más pequeño la disminuye. Esta es la disyuntiva entre eficiencia y tamaño de muestra.

El estimador de bonos de Arellano aborda esta disyuntiva mediante el uso de instrumentos específicos en el tiempo.

El estimador de Arellano-Bond utiliza las siguientes condiciones de momento

${\displaystyle E(y_{it-I}\,\Delta u_{it})=0{\text{ for }}t\geq 3,\,I\geq 2.}$

Utilizando estas condiciones de momento, la matriz del instrumento ahora se convierte en: ${\displaystyle Z_{di}}$

${\displaystyle Z_{di}={\begin{bmatrix}y_{i1}&0&0&0&0&0&\cdots \\0&y_{i2}&y_{i1}&0&0&0&\cdots \\0&0&0&y_{i3}&y_{i2}&y_{i1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$

Tenga en cuenta que la cantidad de momentos aumenta en el período de tiempo: así se evita el equilibrio entre eficiencia y tamaño de la muestra. Los períodos de tiempo más lejanos tienen más rezagos disponibles para usar como instrumentos.

Entonces si uno define:

${\displaystyle \Delta u_{i}={\begin{bmatrix}\Delta u_{i3}\\\Delta u_{i4}\\\Delta u_{i5}\\\vdots \end{bmatrix}}}$

Las condiciones del momento se pueden resumir de la siguiente manera:

${\displaystyle E(Z_{di}^{T}\,\Delta u_{i})=0}$

Estas condiciones de momento sólo son válidas cuando el término de error no tiene correlación serial. Si existe correlación serial, entonces el estimador de Arellano-Bond puede usarse aún bajo ciertas circunstancias, pero se requerirán rezagos más profundos. Por ejemplo, si el término de error está correlacionado con todos los términos para s S (como sería el caso si fuera un proceso MA(S)), sería necesario usar sólo rezagos de profundidad S + 1 o mayor como instrumentos. ${\displaystyle u_{it}}$ ${\displaystyle u_{it}}$ ${\displaystyle u_{it-s}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle u_{it}}$ ${\displaystyle y_{it}}$

Sistema GMM

Cuando la varianza del término de efecto individual entre las observaciones individuales es alta, o cuando el proceso estocástico está cerca de ser un paseo aleatorio , entonces el estimador de Arellano-Bond puede tener un desempeño muy deficiente en muestras finitas. Esto se debe a que las variables dependientes rezagadas serán instrumentos débiles en estas circunstancias. ${\displaystyle y_{it}}$

Blundell y Bond (1998) derivaron una condición bajo la cual es posible utilizar un conjunto adicional de condiciones de momento. ^[4] Estas condiciones de momento adicionales se pueden utilizar para mejorar el rendimiento del estimador de Arellano-Bond en muestras pequeñas. Específicamente, recomendaron utilizar las condiciones de momento:

${\displaystyle \operatorname {E} (\Delta y_{it-1}(\alpha _{i}+u_{it}))=0{\text{ for }}t\geq 3}$ (1)

Estas condiciones de momento adicionales son válidas en las condiciones previstas en su artículo. En este caso, el conjunto completo de condiciones de momento se puede escribir:

${\displaystyle \operatorname {E} (Z_{SYS,i}^{T}P_{i})=0}$

dónde

${\displaystyle P_{i}={\begin{pmatrix}\Delta u_{i}\\u_{i3}\\u_{i4}\\u_{i5}\\\vdots \end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle Z_{SYS,i}={\begin{pmatrix}Z_{di}&0&0&0\\0&\Delta y_{i2}&0&0\\0&0&\Delta y_{i3}&0\\0&0&0&\ddots \end{pmatrix}}.}$

Este método se conoce como GMM de sistema. Nótese que la consistencia y eficiencia del estimador dependen de la validez del supuesto de que los errores pueden descomponerse como en la ecuación (1). Este supuesto puede probarse en aplicaciones empíricas y la prueba de razón de verosimilitud a menudo rechaza la descomposición de efectos aleatorios simples. ^[2]

Implementaciones en paquetes de estadísticas

• R : el estimador Arellano–Bond está disponible como parte del plmpaquete. ^{[5] [6] [7]}
• Stata : los comandos xtabondy xtabond2los estimadores de retorno de Arellano–Bond. ^{[8] [9]}

Véase también

• Modelo de efectos aleatorios
• Modelo mixto

Referencias

1. Arellano, Manuel; Bond, Stephen (1991). "Algunas pruebas de especificación para datos de panel: evidencia de Monte Carlo y una aplicación a ecuaciones de empleo". Revista de Estudios Económicos . 58 (2): 277. doi :10.2307/2297968. JSTOR  2297968.
2. Bhargava, A.; Sargan, JD (1983). "Estimación de modelos dinámicos de efectos aleatorios a partir de datos de panel que cubren períodos cortos de tiempo". Econometrica . 51 (6): 1635–1659. doi :10.2307/1912110. JSTOR  1912110.
3. Anderson, TW; Hsiao, Cheng (1981). "Estimación de modelos dinámicos con componentes de error" (PDF) . Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 76 (375): 598–606. doi :10.1080/01621459.1981.10477691..
4. Blundell, Richard; Bond, Stephen (1998). "Condiciones iniciales y restricciones de momento en modelos de datos de panel dinámicos". Journal of Econometrics . 87 (1): 115–143. CiteSeerX 10.1.1.321.1200 . doi :10.1016/S0304-4076(98)00009-8. 
5. Kleiber, Christian; Zeileis, Achim (2008). "Regresión lineal con datos de panel". Econometría aplicada con R. Springer. págs. 84–89. ISBN 978-0-387-77316-2.
6. Croissant, Yves; Millo, Giovanni (2008). "Econometría de datos de panel en R: el paquete plm". Revista de software estadístico . 27 (2): 1–43. doi : 10.18637/jss.v027.i02 .
7. "plm: Modelos lineales para datos de panel". Proyecto R .
8. "xtabond — Estimación dinámica lineal de datos de panel de Arellano–Bond" (PDF) . Manual de Stata .
9. Roodman, David (2009). "Cómo hacer xtabond2: Una introducción a GMM diferencial y de sistema en Stata". Stata Journal . 9 (1): 86–136. doi : 10.1177/1536867X0900900106 . S2CID  220292189.

Lectura adicional

• Baltagi, Badi H. (2008). "Modelos dinámicos de datos de panel". Análisis econométrico de datos de panel (4.ª ed.). John Wiley & Sons. pp. 147–180. ISBN 978-0-470-51886-1.
• Cameron, A. Colin; Trivedi, Pravin K. (2005). "Modelos dinámicos". Microeconometría: métodos y aplicaciones . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 763–768. ISBN 0-521-84805-9.
• Hsiao, Cheng (2014). "Modelos de ecuaciones dinámicas simultáneas". Análisis de datos de panel (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. pp. 397–402. ISBN 978-1-107-65763-2.