Estado (análisis funcional)

En análisis funcional , un estado de un sistema operador es un funcional lineal positivo de norma 1. Los estados en análisis funcional generalizan la noción de matrices de densidad en mecánica cuántica, que representan estados cuánticos , tanto estados mixtos como estados puros . Las matrices de densidad, a su vez, generalizan los vectores de estado , que sólo representan estados puros. Para M, un sistema operador en un C*-álgebra A con identidad, el conjunto de todos los estados de M, a veces denotados por S( M ), es convexo, débil-* cerrado en el espacio dual de Banach M ^* . Así , el conjunto de todos los estados de M con la topología débil-* forma un espacio compacto de Hausdorff, conocido como espacio de estados de M.

En la formulación algebraica C* de la mecánica cuántica, los estados en este sentido anterior corresponden a estados físicos, es decir, asignaciones de observables físicos (elementos autoadjuntos del álgebra C*) a su resultado de medición esperado (número real).

Descomposición de Jordania

Los estados pueden verse como generalizaciones no conmutativas de medidas de probabilidad . Según la representación de Gelfand , cada C*-álgebra A conmutativa es de la forma C ₀ ( X ) para algún Hausdorff X localmente compacto . En este caso, S ( A ) consta de medidas positivas de radón en X , y los estados puros son los funcionales de evaluación en X.

De manera más general, la construcción GNS muestra que cada estado es, después de elegir una representación adecuada, un estado vectorial.

Se dice que un funcional lineal acotado en un álgebra C* A es autoadjunto si tiene un valor real en los elementos autoadjuntos de A. Los funcionales autoadjuntos son análogos no conmutativos de medidas firmadas .

La descomposición de Jordan en la teoría de la medida dice que cada medida firmada puede expresarse como la diferencia de dos medidas positivas apoyadas en conjuntos disjuntos. Esto se puede extender al entorno no conmutativo.

Teorema  :  cada autoadjunto se puede escribir como donde y son funcionales positivos y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A^{\ast }}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f=f_{+}-f_{-}}$ ${\displaystyle f_{+}}$ ${\displaystyle f_{-}}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert =\Vert f_{+}\Vert +\Vert f_{-}\Vert }$

Prueba

Se puede esbozar una prueba de la siguiente manera: Sea el conjunto compacto débil* de funcionales lineales positivos con norma ≤ 1, y sean las funciones continuas con . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle A}$Puede verse como un subespacio lineal cerrado de (esta es la representación de la función de Kadison ). Por Hahn–Banach, se extiende hasta in con . ${\displaystyle C(\Omega )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C(\Omega )^{\ast }}$ ${\displaystyle \Vert g\Vert =\Vert f\Vert }$

Utilizando los resultados de la teoría de la medida citada anteriormente, se tiene:

${\displaystyle g(\cdot )=\int \cdot \;d\mu }$

donde, por la autoadjunción de , puede considerarse una medida firmada. Escribir: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu =\mu _{+}-\mu _{-},\;}$

una diferencia de medidas positivas. Las restricciones de los funcionales y to tienen las propiedades requeridas de y . Esto prueba el teorema. ${\displaystyle \textstyle \int \cdot \;d\mu _{+}}$ ${\displaystyle \textstyle \int \cdot \;d\mu _{-}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{+}}$ ${\displaystyle f_{-}}$

De la descomposición anterior se deduce que A* es el tramo lineal de estados.

Algunas clases importantes de estados

estados puros

Según el teorema de Krein-Milman , el espacio de estados de M tiene puntos extremos . Los puntos extremos del espacio de estados se denominan estados puros y otros estados se conocen como estados mixtos .

Estados vectoriales

Para un espacio de Hilbert H y un vector x en H , la ecuación ω _x ( T ) := ⟨ Tx , x ⟩ (para T en B(H) ), define un funcional lineal positivo en B(H) . Dado que ω _x ( 1 )=|| x || ² , ω _x es un estado si || x ||=1. Si A es una subálgebra C* de B (H) y M un sistema operador en A , entonces la restricción de ω _x a M define un funcional lineal positivo en M. Los estados de M que surgen de esta manera, a partir de vectores unitarios en H , se denominan estados vectoriales de M.

Estados fieles

Un estado es fiel , si es inyectivo sobre los elementos positivos, es decir, implica . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau (a^{*}a)=0}$ ${\displaystyle a=0}$

Estados normales

Un estado se llama normal , si y solo para cada monótono, la red creciente de operadores con el menor límite superior converge a . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \tau (H_{\alpha })\;}$ ${\displaystyle \tau (H)\;}$

Estados trazales

Un estado trazal es un estado tal que ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau (AB)=\tau (BA)\;.}$

Para cualquier álgebra C* separable, el conjunto de estados traciales es un Choquet simplex .

Estados factoriales

Un estado factorial de un álgebra C* A es un estado tal que el conmutante de la representación GNS correspondiente de A es un factor .

Ver también

• Estado cuántico
• Construcción Gelfand–Naimark–Segal
• Mecánica cuántica
  • Estado cuántico
  • Matriz de densidad

Referencias

• Lin, H. (2001), Introducción a la clasificación de álgebras C * susceptibles , World Scientific