Método de sistemas de estados cuantificados

Los métodos de sistemas de estados cuantizados ( QSS ) son una familia de solucionadores de integración numérica basados ​​en la idea de cuantificación de estados, dual a la idea tradicional de discretización del tiempo. A diferencia de los métodos de solución numérica tradicionales , que abordan el problema discretizando el tiempo y resolviendo para el siguiente estado (de valor real) en cada paso de tiempo sucesivo, los métodos QSS mantienen el tiempo como una entidad continua y, en cambio, cuantizan el estado del sistema, resolviendo en lugar del tiempo en el que el estado se desvía de su valor cuantizado en un quantum .

También pueden tener muchas ventajas en comparación con los algoritmos clásicos. ^[1] Permiten inherentemente modelar discontinuidades en el sistema debido a su naturaleza de eventos discretos y naturaleza asincrónica. También permiten la búsqueda explícita de raíces y la detección de cruces por cero utilizando algoritmos explícitos , evitando la necesidad de iteración, un hecho que es especialmente importante en el caso de sistemas rígidos, donde los métodos tradicionales de pasos de tiempo requieren una gran penalización computacional debido al requisito de resolver implícitamente el siguiente estado del sistema. Finalmente, los métodos QSS satisfacen notables límites de estabilidad y error globales, descritos a continuación, que no se satisfacen con las técnicas de solución clásicas.

Por su naturaleza, los métodos QSS están claramente modelados por el formalismo DEVS , un modelo de computación de eventos discretos , en contraste con los métodos tradicionales, que forman modelos de tiempo discreto del sistema de tiempo continuo . Por lo tanto, se han implementado en [PowerDEVS] , un motor de simulación para dichos sistemas de eventos discretos.

Propiedades teóricas

En 2001, Ernesto Kofman demostró ^[2] una propiedad notable del método de simulación de sistemas de estados cuantizados: a saber, que cuando la técnica se utiliza para resolver un sistema lineal estable e invariante en el tiempo (LTI) , el error global está limitado por una constante que es proporcional al cuanto, pero (crucialmente) independiente de la duración de la simulación. Más específicamente, para un sistema LTI multidimensional estable con la matriz de transición de estados y la matriz de entrada , se demostró en [CK06] que el vector de error absoluto está limitado por encima de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\vec {e}}(t)}$

${\displaystyle \left|{\vec {e}}(t)\right|\leq \left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}\Lambda \right|\ \left|V^{-1}\right|\ \Delta {\vec {Q}}+\left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}V^{-1}B\right|\ \Delta {\vec {u}}}$

donde es el vector de cuantos de estado, es el vector con cuantos adoptados en las señales de entrada, es la descomposición propia o forma canónica de Jordan de , y denota el operador de valor absoluto elemento por elemento (que no debe confundirse con el determinante o norma ). ${\displaystyle \Delta {\vec {Q}}}$ ${\displaystyle \Delta {\vec {u}}}$ ${\displaystyle V\Lambda V^{-1}=A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left|\,\cdot \,\right|}$

Vale la pena notar que este notable límite de error tiene un precio: el error global para un sistema LTI estable también está, en cierto sentido, limitado por debajo por el quantum mismo, al menos para el método QSS1 de primer orden. Esto se debe a que, a menos que la aproximación coincida exactamente con el valor correcto (un evento que casi seguramente no sucederá), simplemente continuará oscilando alrededor del equilibrio, ya que siempre se garantiza (por definición) que el estado cambiará exactamente en un quantum fuera del equilibrio. Evitar esta condición requeriría encontrar una técnica confiable para reducir dinámicamente el quantum de una manera análoga a los métodos de tamaño de paso adaptativo en los algoritmos tradicionales de simulación de tiempo discreto.

Método QSS de primer orden – QSS1

Sea un problema de valor inicial especificado de la siguiente manera.

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x(t),t),\quad x(t_{0})=x_{0}.}$

El método QSS de primer orden, conocido como QSS1, aproxima el sistema anterior mediante

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(q(t),t),\quad q(t_{0})=x_{0}.}$

donde y están relacionados por una función de cuantificación histerética ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle q(t)={\begin{cases}x(t)&{\text{if }}\left|x(t)-q(t^{-})\right|\geq \Delta Q\\q(t^{-})&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

donde se llama quantum . Nótese que esta función de cuantificación es histéresis porque tiene memoria : no solo su salida es una función del estado actual , sino que también depende de su valor anterior, . ${\displaystyle \Delta Q}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle q(t^{-})}$

Por lo tanto, esta formulación aproxima el estado mediante una función constante por partes, , que actualiza su valor tan pronto como el estado se desvía de esta aproximación en un cuanto. ${\displaystyle q(t)}$

La formulación multidimensional de este sistema es casi la misma que la formulación unidimensional anterior: el estado cuantificado es una función de su estado correspondiente, , y el vector de estado es una función de todo el vector de estado cuantificado, : ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle q_{k}(t)}$ ${\displaystyle x_{k}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {q}}(t)}$

${\displaystyle {\vec {x}}(t)=f({\vec {q}}(t),t)}$

Métodos QSS de orden superior: QSS2 y QSS3

El método QSS de segundo orden, QSS2, sigue el mismo principio que QSS1, excepto que se define como una aproximación lineal por partes de la trayectoria que actualiza su trayectoria tan pronto como las dos difieren entre sí en un quantum. El patrón continúa para aproximaciones de orden superior, que definen el estado cuantizado como aproximaciones polinómicas de orden sucesivamente superior del estado del sistema. ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle q(t)}$

Es importante señalar que, si bien en principio se puede utilizar un método QSS de orden arbitrario para modelar un sistema de tiempo continuo, rara vez es deseable utilizar métodos de orden superior a cuatro, ya que el teorema de Abel-Ruffini implica que el tiempo de la siguiente cuantificación, , no puede (en general) resolverse explícitamente de manera algebraica cuando la aproximación polinómica es de grado mayor que cuatro y, por lo tanto, debe aproximarse de manera iterativa utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces . En la práctica, QSS2 o QSS3 resultan suficientes para muchos problemas y el uso de métodos de orden superior produce poco o ningún beneficio adicional. ${\displaystyle t}$

Implementación de software

Los métodos QSS pueden implementarse como un sistema de eventos discretos y simularse en cualquier simulador DEVS .

Los métodos QSS constituyen el solucionador numérico principal del software PowerDEVS [BK011] . También se han implementado como una versión independiente.

Referencias

1. Migoni, Gustavo; Ernesto Kofman; François Cellier (2011). "Nuevos métodos de integración basados ​​en cuantificación para ecuaciones diferenciales ordinarias rígidas". Simulación : 387–407.
2. Kofman, Ernesto (2002). "Una aproximación de segundo orden para la simulación DEVS de sistemas continuos". Simulación . 78 (2): 76–89. CiteSeerX 10.1.1.640.1903 . doi :10.1177/0037549702078002206. S2CID  20959777. 

• [CK06] Francois E. Cellier y Ernesto Kofman (2006). Simulación continua de sistemas (primera ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-26102-7.
• [BK11] Bergero, Federico y Kofman, Ernesto (2011). "PowerDEVS: una herramienta para modelado de sistemas híbridos y simulación en tiempo real" (primera edición). Society for Computer Simulation International, San Diego.

Enlaces externos

• Implementación autónoma de métodos QSS
• PowerDEVS en SourceForge