Métodos explícitos e implícitos

Enfoques para aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales

Los métodos explícitos e implícitos son enfoques utilizados en el análisis numérico para obtener aproximaciones numéricas a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales dependientes del tiempo , como se requiere en simulaciones por computadora de procesos físicos . Los métodos explícitos calculan el estado de un sistema en un momento posterior a partir del estado del sistema en el momento actual, mientras que los métodos implícitos encuentran una solución resolviendo una ecuación que involucra tanto el estado actual del sistema como el posterior. Matemáticamente, si es el estado actual del sistema y es el estado en el momento posterior ( es un pequeño paso de tiempo), entonces, para un método explícito ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle Y(t+\Delta t)}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t))\,}$

mientras que para un método implícito se resuelve una ecuación

${\displaystyle G{\Big (}Y(t),Y(t+\Delta t){\Big )}=0\qquad (1)\,}$

Para encontrar ${\displaystyle Y(t+\Delta t).}$

Cálculo

Los métodos implícitos requieren un cálculo adicional (resolver la ecuación anterior) y pueden ser mucho más difíciles de implementar. Los métodos implícitos se utilizan porque muchos de los problemas que surgen en la práctica son rígidos , para los cuales el uso de un método explícito requiere pasos de tiempo imprácticamente pequeños para mantener el error en el resultado acotado (ver estabilidad numérica ). Para tales problemas, para lograr una precisión dada, se necesita mucho menos tiempo de cálculo para usar un método implícito con pasos de tiempo más grandes, incluso teniendo en cuenta que uno necesita resolver una ecuación de la forma (1) en cada paso de tiempo. Dicho esto, si uno debe usar un método explícito o implícito depende del problema a resolver. ${\displaystyle \Delta t}$

Dado que el método implícito no se puede llevar a cabo para cada tipo de operador diferencial, a veces es recomendable utilizar el llamado método de división de operadores, lo que significa que el operador diferencial se reescribe como la suma de dos operadores complementarios.

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t+\Delta t))+G(Y(t)),\,}$

mientras que uno se trata explícitamente y el otro implícitamente. Para aplicaciones habituales, el término implícito se elige como lineal mientras que el término explícito puede ser no lineal. Esta combinación del primer método se denomina método implícito-explícito (abreviado como IMEX, ^{[1] [2]} ).

Ilustración que utiliza los métodos de Euler hacia adelante y hacia atrás

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (2)}$

con la condición inicial Considérese una cuadrícula para 0 ≤  k  ≤  n , es decir, el paso de tiempo es y denote para cada . Discretizar esta ecuación utilizando los métodos explícitos e implícitos más simples, que son los métodos de Euler hacia adelante y de Euler hacia atrás (ver ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas ) y comparar los esquemas obtenidos. ${\displaystyle y(0)=1.}$ ${\displaystyle t_{k}=a{\frac {k}{n}}}$ ${\displaystyle \Delta t=a/n,}$ ${\displaystyle y_{k}=y(t_{k})}$ ${\displaystyle k}$

Método de Euler hacia delante

El resultado de aplicar diferentes métodos de integración a la EDO: con . ${\displaystyle y'=-y^{2},\;t\in [0,5],\;y_{0}=1}$ ${\displaystyle \Delta t=5/10}$

El método de Euler hacia adelante

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k}^{2}}$

rendimientos

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}-\Delta ty_{k}^{2}\quad \quad \quad (3)\,}$

para cada Esta es una fórmula explícita para . ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$

Método de Euler inverso

Con el método de Euler hacia atrás

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k+1}^{2}}$

se encuentra la ecuación implícita

${\displaystyle y_{k+1}+\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}}$

para (compare esto con la fórmula (3), donde se dio explícitamente en lugar de como una incógnita en una ecuación). ${\displaystyle y_{k+1}}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$

Esta es una ecuación cuadrática , que tiene una raíz negativa y una positiva . La raíz positiva se elige porque en la ecuación original la condición inicial es positiva y luego en el siguiente paso de tiempo viene dada por ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {-1+{\sqrt {1+4\Delta ty_{k}}}}{2\Delta t}}.\quad \quad (4)}$

En la gran mayoría de los casos, la ecuación que se debe resolver al utilizar un esquema implícito es mucho más complicada que una ecuación cuadrática y no existe una solución analítica. En ese caso, se utilizan algoritmos de búsqueda de raíces , como el método de Newton , para hallar la solución numérica.

Método de Crank-Nicolson

Con el método Crank-Nicolson

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{2}}y_{k+1}^{2}-{\frac {1}{2}}y_{k}^{2}}$

se encuentra la ecuación implícita

${\displaystyle y_{k+1}+{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}-{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k}^{2}}$

para (compare esto con la fórmula (3) donde se dio explícitamente en lugar de como una incógnita en una ecuación). Esto se puede resolver numéricamente utilizando algoritmos de búsqueda de raíces , como el método de Newton , para obtener . ${\displaystyle y_{k+1}}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$

Crank-Nicolson puede verse como una forma de esquemas IMEX ( implícito - explícito ) más generales.

Método de Euler hacia adelante y hacia atrás

El resultado de aplicar tanto el método de Euler hacia adelante como el método de Euler hacia adelante-hacia atrás para y . ${\displaystyle a=5}$ ${\displaystyle n=30}$

Para aplicar el esquema IMEX, considere una ecuación diferencial ligeramente diferente:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=y-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (5)}$

Resulta que

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx y_{k+1}-y_{k}^{2},\ t\in [0,a]}$

y por lo tanto

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {y_{k}(1-y_{k}\Delta t)}{1-\Delta t}}\quad \quad (6)}$

Para cada uno ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$

Véase también

• Condición de Courant-Friedrichs-Lewy
• Algoritmo SIMPLE , un método semi-implícito para ecuaciones ligadas a la presión

Fuentes

1. UM Ascher, SJ Ruuth, RJ Spiteri: Métodos Runge-Kutta implícitos-explícitos para ecuaciones diferenciales parciales dependientes del tiempo , Appl Numer Math, vol. 25(2-3), 1997
2. L.Pareschi, G.Russo: Esquemas de Runge-Kutta implícitos-explícitos para sistemas rígidos de ecuaciones diferenciales , Tendencias recientes en análisis numérico, vol. 3, 269-289, 2000