Espacio-tiempo estacionario

Espacio-tiempo que admite un vector Killing que es asintóticamente temporal

En la relatividad general , específicamente en las ecuaciones de campo de Einstein , se dice que un espaciotiempo es estacionario si admite un vector Killing asintóticamente temporal . ^[1]

Descripción y análisis

En un espacio-tiempo estacionario, los componentes del tensor métrico, , pueden elegirse de modo que sean todos independientes de la coordenada de tiempo. El elemento lineal de un espaciotiempo estacionario tiene la forma ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle (i,j=1,2,3)}$

${\displaystyle ds^{2}=\lambda (dt-\omega _{i}\,dy^{i})^{2}-\lambda ^{-1}h_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j},}$

donde es la coordenada temporal, son las tres coordenadas espaciales y es el tensor métrico del espacio tridimensional. En este sistema de coordenadas el campo vectorial Killing tiene los componentes . es un escalar positivo que representa la norma del vector Killing, es decir , y es un vector de 3, llamado vector de torsión, que desaparece cuando el vector Killing es ortogonal de hipersuperficie. Este último surge como los componentes espaciales del vector de giro 4 (ver, por ejemplo, ^[2] p. 163) que es ortogonal al vector Killing , es decir, satisface . El vector de torsión mide hasta qué punto el vector Killing no logra ser ortogonal a una familia de 3 superficies. Un giro distinto de cero indica la presencia de rotación en la geometría del espacio-tiempo. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y^{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }=(1,0,0,0)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =g_{\mu \nu }\xi ^{\mu }\xi ^{\nu }}$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }=e_{\mu \nu \rho \sigma }\xi ^{\nu }\nabla ^{\rho }\xi ^{\sigma }}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }\xi ^{\mu }=0}$

La representación de coordenadas descrita anteriormente tiene una interpretación geométrica interesante. ^[3] El vector Killing de traducción temporal genera un grupo de movimiento de un parámetro en el espacio-tiempo . Al identificar los puntos del espacio-tiempo que se encuentran en una trayectoria particular (también llamada órbita), se obtiene un espacio tridimensional (la variedad de trayectorias Killing) , el espacio cociente. Cada punto de representa una trayectoria en el espacio-tiempo . Esta identificación, llamada proyección canónica, es un mapeo que envía cada trayectoria a un punto e induce una métrica a través del retroceso. Las cantidades y son todos campos y, en consecuencia , son independientes del tiempo. Por tanto, la geometría de un espaciotiempo estacionario no cambia en el tiempo. En el caso especial se dice que el espacio-tiempo es estático . Por definición, todo espacio-tiempo estático es estacionario, pero lo contrario no suele ser cierto, como la métrica de Kerr proporciona un contraejemplo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V=M/G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :M\rightarrow V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h=-\lambda \pi *g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega _{i}=0}$

Úselo como punto de partida para ecuaciones de campo de vacío.

En un espacio-tiempo estacionario que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío fuera de las fuentes, el vector de giro 4 no tiene curvatura, ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\omega _{\nu }-\nabla _{\nu }\omega _{\mu }=0,\,}$

y por lo tanto es localmente el gradiente de un escalar (llamado escalar de torsión): ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega _{\mu }=\nabla _{\mu }\omega .\,}$

En lugar de los escalares es más conveniente utilizar los dos potenciales de Hansen, los potenciales de masa y de momento angular, y , definidos como ^[4] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Phi _{M}}$ ${\displaystyle \Phi _{J}}$

${\displaystyle \Phi _{M}={\frac {1}{4}}\lambda ^{-1}(\lambda ^{2}+\omega ^{2}-1),}$

${\displaystyle \Phi _{J}={\frac {1}{2}}\lambda ^{-1}\omega .}$

En la relatividad general, el potencial de masa desempeña el papel del potencial gravitacional newtoniano. Un potencial de momento angular no trivial surge para fuentes giratorias debido a la energía cinética rotacional que, debido a la equivalencia masa-energía, también puede actuar como fuente de un campo gravitacional. La situación es análoga a un campo electromagnético estático donde uno tiene dos conjuntos de potenciales, eléctrico y magnético. En la relatividad general, las fuentes giratorias producen un campo gravitomagnético que no tiene análogo newtoniano. ${\displaystyle \Phi _{M}}$ ${\displaystyle \Phi _{J}}$

Por tanto, una métrica de vacío estacionaria se puede expresar en términos de los potenciales de Hansen ( , ) y la 3-métrica . En términos de estas cantidades, las ecuaciones del campo de vacío de Einstein se pueden expresar en la forma ^[4] ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle A=M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle h_{ij}}$

${\displaystyle (h^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}-2R^{(3)})\Phi _{A}=0,\,}$

${\displaystyle R_{ij}^{(3)}=2[\nabla _{i}\Phi _{A}\nabla _{j}\Phi _{A}-(1+4\Phi ^{2})^{-1}\nabla _{i}\Phi ^{2}\nabla _{j}\Phi ^{2}],}$

donde , y es el tensor de Ricci de la métrica espacial y el escalar de Ricci correspondiente. Estas ecuaciones forman el punto de partida para investigar métricas de vacío estacionarias exactas. ${\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi _{A}\Phi _{A}=(\Phi _{M}^{2}+\Phi _{J}^{2})}$ ${\displaystyle R_{ij}^{(3)}}$ ${\displaystyle R^{(3)}=h^{ij}R_{ij}^{(3)}}$

Ver también

• Espacio-tiempo estático
• Espaciotiempo esféricamente simétrico

Referencias

1. Ludvigsen, M., Relatividad general: un enfoque geométrico, Cambridge University Press, 1999 ISBN  052163976X
2. Wald, RM, (1984). Relatividad General, (U. Chicago Press)
3. Geroch, R., (1971). J. Matemáticas. Física. 12, 918
4. Hansen, RO (1974). J. Matemáticas. Física. 15, 46.